Конвертер декартовых координат в полярные

Введите расчет

Координата X

Координата Y

Единица измерения угла Градусы Радианы

Результатов

Polar Coordinates (r, θ)

r = 5

θ = 53,130102 degrees

Радиус r	5
Angle θ	53,130102 deg
Угол (радианы)	0,927295 rad
Метод	r = sqrt(x²+y²), θ = atan2(y, x)

Что делает этот конвертер

Калькулятор переводит точку, заданную в декартовых (прямоугольных) координатах на плоскости (x, y), в полярные координаты (r, θ). Радиус r — это расстояние по прямой от начала координат до точки, а угол θ отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси X. Угол θ можно получить как в градусах, так и в радианах.

Как пользоваться

Введите координату X и координату Y, выберите, в чём показывать угол — в градусах или радианах, — и калькулятор мгновенно выдаст r и θ. Координаты безразмерны, поэтому r измеряется в тех же единицах длины, что вы использовали для x и y.

Разбор формулы

Радиус находится по теореме Пифагора: \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\). Угол вычисляется через арктангенс с двумя аргументами: \(\theta = \operatorname{atan2}(y,\ x)\). Во многих учебниках пишут \(\theta = \operatorname{arctg}(y/x)\), однако обычный арктангенс возвращает углы только в диапазоне от −90 до 90 градусов и не определён при x = 0. Функция atan2 решает обе проблемы: она анализирует знаки x и y, чтобы поместить угол в правильный квадрант, и возвращает значение в интервале (−180, 180] градусов (то есть (−π, π] радиан).

Реклама

atan2 выбирает правильный угол по знакам x и y во всех четырёх квадрантах.

Точка P, заданная декартовыми (x, y) и полярными (r, θ) координатами.

Пример с решением

Для x = 3, y = 4: $$r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Угол равен \(\operatorname{atan2}(4, 3) = 0{,}927295\) рад, что соответствует 53,130102 градуса. Значит, точка (3, 4) превращается в (r = 5, θ = 53,130102 градуса).

Для x = −1, y = 1 (второй квадрант): \(r = \sqrt{2} = 1{,}414214\), а \(\operatorname{atan2}(1,\ -1) = 135\) градусов. Наивное вычисление \(\operatorname{arctg}(1 / -1)\) дало бы ошибочные −45 градусов — это наглядно показывает, почему без atan2 не обойтись.

Частые вопросы

В каком диапазоне выдаётся угол? Калькулятор следует соглашению функции atan2 и возвращает θ в интервале (−180, 180] градусов или (−π, π] радиан. Если вам удобнее диапазон от 0 до 360, прибавьте к любому отрицательному результату 360 градусов (или 2π).

Что происходит в начале координат? Если x = 0 и y = 0, то r = 0, а угол математически не определён. По соглашению \(\operatorname{atan2}(0, 0)\) возвращает 0, поэтому θ показывается как 0.

Почему угол — не arctg(y/x)? Обычный арктангенс теряет информацию о квадранте и делит на ноль при x = 0. Функция atan2 корректно обрабатывает все квадранты и вертикальную ось.