Калькулятор перевода декартовых координат в полярные

Введите расчет

Координата X

Координата Y

Результатов

Полярные координаты (r, θ)

5, 53,1301°

r — радиус, θ — угол

Радиус (r)	5
Угол θ (градусы)	53,130102°
Угол θ (радианы)	0,927295

Что такое перевод из декартовых координат в полярные?

Любую точку на плоскости можно задать двумя способами. В прямоугольной (декартовой) системе точку описывают через расстояния по горизонтали и вертикали — в виде пары (x, y). В полярной системе ту же точку задают расстоянием до начала координат r и углом θ, который она образует с положительным направлением оси x. Этот калькулятор переводит пару декартовых координат (x, y) в полярную форму (r, θ) и показывает угол θ сразу в градусах и в радианах.

Точка P, заданная прямоугольными (x, y) и полярными (r, θ) координатами.

Как пользоваться калькулятором

Введите координату x и координату y вашей точки. Нажмите «Рассчитать» — и калькулятор выдаст радиус r и угол θ. Отрицательные значения полностью поддерживаются, а угол вычисляется через функцию atan2, поэтому результат всегда попадает в нужную четверть (в диапазоне от −180° до 180°).

Разбор формулы

Радиус следует прямо из теоремы Пифагора: x и y — это катеты прямоугольного треугольника, а r — его гипотенуза:

$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

Угол находят через двухаргументный арктангенс: \(\theta = \operatorname{atan2}(y,\ x)\). В отличие от обычного \(\arctan(y/x)\), функция atan2 учитывает знаки и x, и y, поэтому она правильно отличает, например, вторую четверть от четвёртой. Чтобы перевести радианы в градусы, умножьте результат на \(180/\pi\).

Реклама

Преобразование образует прямоугольный треугольник: r — гипотенуза, а θ — угол в начале координат.

Пример с решением

Возьмём точку (3, 4). Радиус равен $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ Угол составляет \(\operatorname{atan2}(4,\ 3) \approx 0{,}9273\) радиана, то есть примерно 53,13°. Значит, точка (3, 4) в полярной форме — это приблизительно (5, 53,13°).

Частые вопросы

Почему используют atan2, а не обычный arctan? Простой \(\arctan(y/x)\) теряет информацию о четверти и приводит к делению на ноль при x = 0. Функция atan2 корректно обрабатывает все четыре четверти и точки на осях.

В каком диапазоне лежит угол? Калькулятор выдаёт θ в интервале (−180°, 180°]. Чтобы получить значение в диапазоне 0–360°, прибавьте 360° к любому отрицательному результату.

Что если и x, и y равны нулю? Радиус равен 0, а угол не определён; по соглашению калькулятор возвращает 0°.