Qu'est-ce que la conversion cartésien-polaire ?
Tout point d'un plan peut se décrire de deux façons. Dans le système cartésien (ou rectangulaire), un point est repéré par ses distances horizontale et verticale, notées \((x, y)\). Dans le système polaire, ce même point est défini par sa distance à l'origine, \(r\), et par l'angle \(\theta\) qu'il forme avec l'axe des abscisses positif. Ce calculateur transforme un couple cartésien \((x, y)\) en son équivalent polaire \((r, \theta)\), en exprimant \(\theta\) aussi bien en degrés qu'en radians.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez l'abscisse \((x)\) et l'ordonnée \((y)\) de votre point, puis lancez le calcul : l'outil renvoie le rayon \(r\) et l'angle \(\theta\). Les valeurs négatives sont parfaitement prises en charge, et l'angle est déterminé grâce à la fonction atan2, ce qui garantit un résultat dans le bon quadrant (compris entre −180° et 180°).
La formule expliquée
Le rayon découle directement du théorème de Pythagore : \(x\) et \(y\) sont les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et \(r\) en est l'hypoténuse :
$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$
L'angle, lui, s'obtient avec l'arctangente à deux arguments : $$\theta = \operatorname{atan2}(y, x)$$ Contrairement à un simple \(\arctan(y/x)\), atan2 tient compte du signe de \(x\) et de \(y\), ce qui lui permet de distinguer correctement, par exemple, le deuxième quadrant du quatrième. Pour passer des radians aux degrés, multipliez par \(180/\pi\).
Exemple concret
Prenons le point \((3, 4)\). Le rayon vaut $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ L'angle est \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) radian, soit environ \(53{,}13°\). Sous forme polaire, \((3, 4)\) correspond donc approximativement à \((5,\ 53{,}13°)\).
FAQ
Pourquoi utiliser atan2 plutôt que arctan ? Un simple \(\arctan(y/x)\) perd l'information de quadrant et provoque une division par zéro lorsque \(x = 0\). La fonction atan2 gère correctement les quatre quadrants ainsi que les axes.
Quelle est la plage de valeurs de l'angle ? Cet outil donne \(\theta\) dans l'intervalle \((−180°, 180°]\). Pour obtenir une valeur entre 0 et 360°, il suffit d'ajouter 360° à tout résultat négatif.
Que se passe-t-il si x et y valent tous deux zéro ? Le rayon est nul et l'angle indéfini ; par convention, le calculateur affiche alors 0°.
