À quoi sert ce convertisseur
Cet outil transforme un point exprimé en coordonnées cartésiennes 2D (rectangulaires) (x, y) en coordonnées polaires (r, θ). Le rayon r correspond à la distance en ligne droite entre l'origine et le point, tandis que l'angle θ se mesure dans le sens trigonométrique (anti-horaire) à partir de l'axe des x positifs. Vous pouvez afficher θ au choix en degrés ou en radians.
Comment l'utiliser
Saisissez la coordonnée X et la coordonnée Y, choisissez si vous souhaitez l'angle en degrés ou en radians, et le calculateur vous renvoie aussitôt r et θ. Les coordonnées sont de simples valeurs du plan, sans unité imposée : r s'exprime donc dans la même unité de longueur que celle utilisée pour x et y.
La formule expliquée
Le rayon découle du théorème de Pythagore : \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\). L'angle, lui, se calcule à l'aide de l'arc tangente à deux arguments : \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\). Si de nombreux manuels écrivent \(\theta = \arctan(y/x)\), l'arc tangente classique ne renvoie que des angles compris entre -90 et 90 degrés et n'est pas défini lorsque \(x = 0\). La fonction atan2 résout ces deux problèmes : elle examine les signes de \(x\) et de \(y\) pour placer l'angle dans le bon quadrant, en renvoyant une valeur dans l'intervalle (-180, 180] degrés (soit (-π, π] radians).
Exemple détaillé
Pour \(x = 3\), \(y = 4\) : $$r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ L'angle vaut \(\operatorname{atan2}(4, 3) = 0{,}927295\) rad, soit \(53{,}130102\) degrés. Ainsi, le point (3, 4) devient (r = 5, θ = 53,130102 degrés).
Pour \(x = -1\), \(y = 1\) (deuxième quadrant) : \(r = \sqrt{2} = 1{,}414214\), et \(\operatorname{atan2}(1, -1) = 135\) degrés. Un \(\arctan(1 / -1)\) naïf donnerait à tort -45 degrés, ce qui illustre bien pourquoi atan2 est indispensable.
Questions fréquentes
Quelle plage d'angles utilise-t-il ? Cet outil suit la convention atan2 et fournit θ dans l'intervalle (-180, 180] degrés ou (-π, π] radians. Si vous préférez une plage de 0 à 360, ajoutez 360 degrés (ou 2π) à tout résultat négatif.
Que se passe-t-il à l'origine ? Si \(x = 0\) et \(y = 0\), alors \(r = 0\) et l'angle est mathématiquement indéfini ; par convention, \(\operatorname{atan2}(0, 0)\) renvoie 0, et θ est donc affiché comme 0.
Pourquoi l'angle n'est-il pas arctan(y/x) ? L'arc tangente classique perd l'information sur le quadrant et provoque une division par zéro lorsque \(x = 0\). La fonction atan2 gère correctement tous les quadrants ainsi que l'axe vertical.
