직교좌표를 극좌표로 변환한다는 것은?
평면 위의 모든 점은 두 가지 방식으로 나타낼 수 있습니다. 직교좌표(데카르트 좌표)에서는 가로·세로 거리를 이용해 한 점을 \((x, y)\)로 표시합니다. 반면 극좌표에서는 같은 점을 원점으로부터의 거리 \(r\)과, 양의 x축과 이루는 각도 \(\theta\)로 나타냅니다. 이 계산기는 직교좌표 \((x, y)\)를 극좌표 \((r, \theta)\)로 변환하며, 각도 \(\theta\)를 도(°)와 라디안 두 단위로 함께 보여 줍니다.
계산기 사용 방법
변환하려는 점의 x좌표와 y좌표를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 반지름 \(r\)과 각도 \(\theta\)가 바로 표시됩니다. 음수 값도 모두 지원하며, 각도는 atan2 함수로 계산하기 때문에 결과가 올바른 사분면(−180°에서 180° 사이)에 정확히 놓입니다.
공식 자세히 보기
반지름은 피타고라스 정리에서 곧바로 얻어집니다. x와 y가 직각삼각형의 두 변이고, r이 빗변이기 때문입니다.
$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$
각도는 인수가 두 개인 아크탄젠트, 즉 $$\theta = \operatorname{atan2}(y, x)$$로 구합니다. 단순한 \(\arctan(y/x)\)와 달리 atan2는 x와 y의 부호를 모두 살피기 때문에, 예를 들어 제2사분면과 제4사분면을 정확히 구분해 냅니다. 라디안을 도(°)로 바꾸려면 \(180/\pi\)를 곱하면 됩니다.
예제로 풀어 보기
점 \((3, 4)\)를 살펴봅시다. 반지름은 $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 입니다. 각도는 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) 라디안으로, 약 53.13°에 해당합니다. 따라서 \((3, 4)\)를 극좌표로 나타내면 약 \((5, 53.13°)\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 arctan 대신 atan2를 쓰나요? 단순한 \(\arctan(y/x)\)는 사분면 정보를 잃어버리고, x = 0일 때는 0으로 나누는 문제가 생깁니다. 반면 atan2는 네 개의 사분면과 각 축을 모두 올바르게 처리합니다.
각도의 범위는 어떻게 되나요? 이 계산기는 \(\theta\)를 (−180°, 180°] 범위로 표시합니다. 0~360° 값으로 바꾸고 싶다면 음수 결과에 360°를 더하면 됩니다.
x와 y가 모두 0이면 어떻게 되나요? 반지름은 0이고 각도는 정의되지 않습니다. 이때 계산기는 관례에 따라 0°를 반환합니다.
