आयताकार से ध्रुवीय निर्देशांक कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

X निर्देशांक

Y निर्देशांक

परिणाम

ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ)

5, 53.1301°

r = परिमाण, θ = कोण

त्रिज्या (r)	5
कोण θ (डिग्री)	53.130102°
कोण θ (रेडियन)	0.927295

आयताकार से ध्रुवीय रूपांतरण क्या है?

किसी समतल में मौजूद हर बिंदु को दो तरीकों से दर्शाया जा सकता है। आयताकार (कार्तीय) प्रणाली में किसी बिंदु को क्षैतिज और लंबवत दूरी के रूप में बताया जाता है, जिसे \((x, y)\) लिखा जाता है। वहीं ध्रुवीय प्रणाली में उसी बिंदु को मूल बिंदु (origin) से उसकी दूरी \(r\) और धनात्मक x-अक्ष के साथ बनने वाले कोण \(\theta\) के रूप में दर्शाया जाता है। यह कैलकुलेटर आयताकार जोड़ी \((x, y)\) को उसके ध्रुवीय समकक्ष \((r, \theta)\) में बदल देता है और \(\theta\) को डिग्री तथा रेडियन दोनों में दिखाता है।

एक बिंदु P जिसे आयताकार \((x, y)\) और ध्रुवीय \((r, \theta)\) निर्देशांकों से दर्शाया गया है।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने बिंदु का x-निर्देशांक और y-निर्देशांक दर्ज करें। 'गणना करें' पर क्लिक करते ही टूल आपको त्रिज्या \(r\) और कोण \(\theta\) बता देगा। ऋणात्मक मान भी पूरी तरह समर्थित हैं, और कोण की गणना atan2 फलन से की जाती है ताकि परिणाम सही चतुर्थांश (quadrant) में आए — यानी −180° और 180° के बीच।

सूत्र की व्याख्या

त्रिज्या सीधे पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है, क्योंकि x और y एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं और r उसका कर्ण है:

$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

कोण के लिए दो-तर्क वाला आर्कटैन्जेंट उपयोग होता है, $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\ x)$$ साधारण \(\arctan(y/x)\) के विपरीत, atan2 x और y दोनों के चिह्नों (signs) को जाँचता है, इसलिए यह सही ढंग से पहचान लेता है कि बिंदु दूसरे चतुर्थांश में है या चौथे में। रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए उसे \(180/\pi\) से गुणा करें।

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रूपांतरण एक समकोण त्रिभुज बनाता है: \(r\) कर्ण है और \(\theta\) मूल बिंदु पर बना कोण है।

हल किया गया उदाहरण

बिंदु \((3, 4)\) को लें। त्रिज्या होगी $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ कोण होगा \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) रेडियन, जो लगभग \(53.13°\) है। इस प्रकार ध्रुवीय रूप में \((3, 4)\) लगभग \((5, 53.13°)\) के बराबर है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

arctan के बजाय atan2 क्यों इस्तेमाल करें? साधारण \(\arctan(y/x)\) चतुर्थांश की जानकारी खो देता है और जब \(x = 0\) हो तो शून्य से भाग की समस्या आ जाती है। atan2 चारों चतुर्थांश और दोनों अक्षों को सही ढंग से संभाल लेता है।

कोण की परास (range) क्या होती है? यह टूल \(\theta\) को \((−180°, 180°]\) में दिखाता है। 0–360° वाला मान पाने के लिए किसी भी ऋणात्मक परिणाम में 360° जोड़ दें।

अगर x और y दोनों शून्य हों तो क्या होगा? त्रिज्या 0 होगी और कोण अपरिभाषित रहेगा; परंपरा के अनुसार कैलकुलेटर 0° लौटाता है।