Que sont les coordonnées sphériques ?
Les coordonnées sphériques permettent de repérer un point dans l'espace à trois dimensions à l'aide de trois valeurs : la distance radiale \(\rho\) (rhô) à partir de l'origine, l'angle azimutal \(\theta\) (thêta) mesuré dans le plan xy depuis le demi-axe positif des x, et l'angle polaire \(\varphi\) (phi) mesuré à partir du demi-axe positif des z. Ce calculateur convertit de simples coordonnées cartésiennes (x, y, z) en coordonnées sphériques (\(\rho\), \(\theta\), \(\varphi\)), un système très utilisé en physique, en astronomie, en infographie et en ingénierie.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois composantes cartésiennes x, y et z de votre point, puis lisez les valeurs de \(\rho\), \(\theta\) et \(\varphi\). Les angles sont affichés à la fois en radians et en degrés. L'angle azimutal repose sur la fonction atan2, ce qui permet de déterminer correctement le quadrant et de couvrir l'intervalle (−180°, 180°] ; l'angle polaire, lui, varie de 0° à 180°.
La formule expliquée
La distance radiale correspond à la longueur de Pythagore en 3D :
$$\rho = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$L'angle azimutal
$$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(\text{y},\, \text{x}\right)$$donne la rotation autour de l'axe z. L'angle polaire
$$\varphi = \arccos\!\left(\frac{\text{z}}{\rho}\right)$$indique l'inclinaison par rapport à l'axe vertical. Lorsque \(\rho = 0\) (au point d'origine), les angles ne sont pas définis ; \(\varphi\) prend alors la valeur 0 par défaut.
Exemple concret
Pour le point (1, 1, 1) :
$$\rho = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508$$$$\theta = \operatorname{atan2}(1,\, 1) = 45° = 0{,}7853982 \text{ rad}$$$$\varphi = \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \arccos(0{,}5773503) \approx 0{,}9553166 \text{ rad} \approx 54{,}7356°$$FAQ
Quelle convention d'angles est utilisée ? La convention physique/ISO : \(\theta\) est l'azimut et \(\varphi\) l'angle polaire (d'inclinaison) mesuré depuis l'axe z.
Pourquoi atan2 plutôt qu'arctan ? \(\operatorname{atan2}(\text{y}, \text{x})\) renvoie le bon quadrant quels que soient les signes de x et de y, contrairement à un simple \(\arctan(\text{y}/\text{x})\).
Que se passe-t-il si toutes les valeurs saisies sont nulles ? \(\rho\) vaut 0 et les angles ne sont mathématiquement pas définis ; l'outil renvoie alors \(\theta = 0\) et \(\varphi = 0\).
