ما هي الإحداثيات الكروية؟
تصف الإحداثيات الكروية موقع نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام ثلاث قيم: البُعد القطري \(\rho\) (رو) من نقطة الأصل، والزاوية السمتية \(\theta\) (ثيتا) المقاسة في المستوى xy انطلاقًا من المحور x الموجب، والزاوية القطبية \(\varphi\) (فاي) المقاسة نزولًا من المحور z الموجب. تحوّل هذه الحاسبة الإحداثيات الديكارتية الاعتيادية (x، y، z) إلى النظام الكروي (\(\rho\)، \(\theta\)، \(\varphi\))، وهو نظام واسع الاستخدام في الفيزياء وعلم الفلك ورسوميات الحاسوب والهندسة.
كيفية الاستخدام
أدخل المكونات الديكارتية الثلاثة x وy وz للنقطة، ثم اقرأ قيم \(\rho\) وθ\(\theta\) وφ\(\varphi\). تُعرض الزوايا بالراديان والدرجات معًا. تعتمد الزاوية السمتية على الدالة atan2، لذا فهي تحدد الرُبع الصحيح بدقة وتتراوح في المجال (−180°، 180°]؛ أما الزاوية القطبية فتتراوح من 0° إلى 180°.
شرح المعادلة
البُعد القطري هو الطول الفيثاغوري في الأبعاد الثلاثة: $$\rho = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$ والزاوية السمتية $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(\text{y},\, \text{x}\right)$$ تمثل الدوران حول المحور z. أما الزاوية القطبية $$\varphi = \arccos\!\left(\frac{\text{z}}{\rho}\right)$$ فتمثل ميل النقطة بعيدًا عن المحور الرأسي. وعندما يكون \(\rho = 0\) (أي عند نقطة الأصل) تصبح الزوايا غير معرّفة، لذا تُضبط قيمة \(\varphi\) افتراضيًا على 0.
مثال محلول
للنقطة (1، 1، 1): \(\rho = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} \approx 1.7320508\). وθ \(\theta = \operatorname{atan2}(1, 1) = 45° = 0.7853982\) راديان. وφ \(\varphi = \arccos(1/\sqrt{3}) = \arccos(0.5773503) \approx 0.9553166\) راديان ≈ 54.7356°.
الأسئلة الشائعة
ما هو اصطلاح الزوايا المُعتمد؟ الاصطلاح الفيزيائي/المعياري ISO: حيث تمثل \(\theta\) الزاوية السمتية وتمثل \(\varphi\) الزاوية القطبية (زاوية الميل) من المحور z.
لماذا نستخدم atan2 بدلًا من arctan؟ لأن الدالة \(\operatorname{atan2}(\text{y}, \text{x})\) تُرجع الرُبع الصحيح مهما كانت إشارة x وy، على عكس الدالة العادية \(\arctan(\text{y}/\text{x})\).
ماذا لو كانت جميع المدخلات أصفارًا؟ تكون قيمة \(\rho\) مساوية لـ 0 وتصبح الزوايا غير معرّفة رياضيًا؛ وفي هذه الحالة تُرجع الأداة \(\theta = 0\) وφ \(\varphi = 0\).
