Что такое сферические координаты?
Сферические координаты задают точку в трёхмерном пространстве с помощью трёх величин: радиуса \(\rho\) (ро) — расстояния от начала координат, азимутального угла \(\theta\) (тета) — угла в плоскости xy, отсчитываемого от положительного направления оси x, и полярного угла \(\varphi\) (фи), отсчитываемого вниз от положительного направления оси z. Этот калькулятор переводит обычные декартовы координаты (x, y, z) в сферическую систему (\(\rho\), \(\theta\), \(\varphi\)), которая широко применяется в физике, астрономии, компьютерной графике и инженерных расчётах.
Как пользоваться калькулятором
Введите три декартовы составляющие точки — x, y и z, — и сразу получите значения \(\rho\), \(\theta\) и \(\varphi\). Углы выводятся как в радианах, так и в градусах. Азимутальный угол вычисляется через функцию atan2, поэтому корректно определяет четверть и лежит в диапазоне (−180°; 180°]. Полярный угол изменяется от 0° до 180°.
Разбор формул
Радиус — это длина вектора по теореме Пифагора в трёх измерениях: $$\rho = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$ Азимутальный угол $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(\text{y},\, \text{x}\right)$$ задаёт поворот вокруг оси z. Полярный угол $$\varphi = \arccos\!\left(\frac{\text{z}}{\rho}\right)$$ показывает отклонение от вертикальной оси. Когда \(\rho = 0\) (точка в начале координат) углы не определены, поэтому \(\varphi\) по умолчанию принимается равным 0.
Пример расчёта
Для точки (1, 1, 1): $$\rho = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508$$ $$\theta = \operatorname{atan2}(1, 1) = 45° = 0{,}7853982 \text{ рад}$$ $$\varphi = \arccos(1/\sqrt{3}) = \arccos(0{,}5773503) \approx 0{,}9553166 \text{ рад} \approx 54{,}7356°$$
Частые вопросы
Какое соглашение об углах используется? Физическое соглашение по стандарту ISO: \(\theta\) — азимутальный угол, \(\varphi\) — полярный угол (угол наклона) от оси z.
Почему используется atan2, а не arctan? Функция \(\operatorname{atan2}(\text{y}, \text{x})\) правильно определяет четверть при любых знаках x и y, в отличие от обычного \(\arctan(\text{y}/\text{x})\).
Что будет, если все значения равны нулю? Тогда \(\rho = 0\), а углы математически не определены; калькулятор возвращает \(\theta = 0\) и \(\varphi = 0\).
