Что такое цилиндрические координаты?
Цилиндрические координаты задают точку в трёхмерном пространстве через радиус r, угол θ и высоту z. По сути это расширение полярных координат на плоскости: к ним просто добавляется ось z из декартовой системы. Такой подход незаменим в задачах с осевой симметрией — расчёт труб и цилиндров, электромагнитных полей, течения жидкостей и газов.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите направление перевода. Для режима Декартовы → Цилиндрические введите значения x, y и z — калькулятор вернёт r, θ (в градусах) и z. Для режима Цилиндрические → Декартовы укажите r, θ (в градусах) и z, чтобы получить x, y и z. Угол вычисляется через двухаргументный арктангенс (atan2), поэтому квадрант всегда определяется верно.
Разбор формул
Радиус — это расстояние по прямой от оси z: $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ Угол находится по формуле $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(y,\ x\right)$$ функция возвращает значение в диапазоне от −180° до 180° и корректно обрабатывает все четыре квадранта и сами оси. Высота \(z\) в обеих системах совпадает. Обратное преобразование: $$x = r\cos\theta \qquad y = r\sin\theta$$
Пример расчёта
Переведём декартову точку (3, 4, 5). Радиус равен \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Угол составляет \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53{,}13°\). Высота остаётся равной 5. Значит, цилиндрические координаты — (5, 53,13°, 5).
Частые вопросы
Почему используется atan2, а не arctan(y/x)? Обычный арктангенс теряет информацию о квадранте и не определён при x = 0. Функция atan2 правильно обрабатывает все случаи.
Угол задаётся в градусах или радианах? Для удобства калькулятор принимает и показывает θ в градусах, а внутри переводит его в радианы для тригонометрических функций.
Что будет, если x и y равны нулю? Точка лежит на оси z, поэтому \(r = 0\), а угол θ по соглашению считается равным 0°.
