Что делает этот калькулятор
Инструмент переводит точку трёхмерного пространства из цилиндрических координат (ρ, θ, z) в сферические координаты (r, θ, φ). Это чистая математика, которая работает одинаково во всём мире — никаких региональных правил здесь нет. Калькулятор использует физическое соглашение по стандарту ISO: θ — это азимутальный угол (поворот вокруг оси z), а φ — полярный угол (угол наклона), отсчитываемый от положительного направления оси z.
Какое соглашение используется
Цилиндрические координаты: ρ — радиальное расстояние от оси z (ρ ≥ 0), θ — азимутальный угол в плоскости xy, а z — высота. Сферические координаты: r — расстояние от начала координат, θ — тот же самый азимутальный угол (он переносится без изменений), а φ — угол, отсчитываемый вниз от положительной оси z. Поскольку r и φ зависят только от ρ и z, азимутальный угол θ при переходе между двумя системами остаётся неизменным.
Как пользоваться калькулятором
Введите ρ, θ и z, укажите, в каких единицах заданы углы — в градусах или радианах, и выберите точность отображения. На выходе вы получите r, неизменное значение θ и вычисленный угол φ в тех же единицах, которые выбрали.
Разбор формул
Радиальное расстояние находится по теореме Пифагора в плоскости, проходящей через ось z и заданную точку: $$r = \sqrt{\rho^{2} + z^{2}}$$ Полярный угол равен $$\varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\rho,\; z\right)$$ Мы используем именно atan2, а не \(\operatorname{atan}(\rho/z)\): благодаря этому при \(z = 0\) получается ровно 90°, при \(z < 0\) угол оказывается больше 90°, а результат всегда лежит в диапазоне \([0, \pi]\).
Пример расчёта
Пусть \(\rho = 3\), \(\theta = 60°\), \(z = 4\): тогда $$r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Угол $$\varphi = \operatorname{atan2}(3,\; 4) = \operatorname{atan}(0{,}75) = 36{,}86989765°$$ Значение \(\theta\) остаётся равным 60°. Итак, сферические координаты — это (5, 60°, 36,86989765°).
Частые вопросы
Почему θ не меняется? Обе системы измеряют азимутальный угол вокруг оси z одинаково, поэтому он просто переносится без изменений.
Что происходит при z = 0? Точка лежит в плоскости xy, поэтому \(\varphi = 90°\) (\(\pi/2\)). Функция atan2 корректно обрабатывает этот случай без деления на ноль.
А если ρ = 0 и z = 0? Тогда точка совпадает с началом координат: \(r = 0\), а угол φ математически не определён (калькулятор возвращает 0).
