Калькулятор узлов и весов квадратуры Гаусса–Лежандра

Введите расчет

Порядок n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Знаков для вывода 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Результатов

20-Point Gauss-Legendre Rule on [-1, 1]

2

сумма весов (должна равняться 2)

i	Узел x_i	Вес w_i
1	-0,993128599185095	0,017614007139152
2	-0,963971927277914	0,040601429800387
3	-0,912234428251326	0,062672048334109
4	-0,839116971822219	0,083276741576705
5	-0,746331906460151	0,10193011981724
6	-0,636053680726515	0,118194531961518
7	-0,510867001950827	0,131688638449176
8	-0,37370608871542	0,142096109318382
9	-0,227785851141645	0,149172986472604
10	-0,076526521133497	0,152753387130726
11	0,076526521133497	0,152753387130726
12	0,227785851141645	0,149172986472604
13	0,37370608871542	0,142096109318382
14	0,510867001950827	0,131688638449176
15	0,636053680726515	0,118194531961518
16	0,746331906460151	0,10193011981724
17	0,839116971822219	0,083276741576705
18	0,912234428251326	0,062672048334109
19	0,963971927277914	0,040601429800387
20	0,993128599185095	0,017614007139152

Что вычисляет калькулятор квадратуры Гаусса–Лежандра?

Этот инструмент находит узлы (абсциссы) и веса n-точечной квадратурной формулы Гаусса–Лежандра на эталонном отрезке [-1, 1]. Квадратура Гаусса–Лежандра — это метод численного интегрирования, который приближает определённый интеграл взвешенной суммой значений функции: интеграл от f(x) на отрезке от -1 до 1 примерно равен сумме произведений w_i на f(x_i). Всего по n точкам она точно интегрирует любой многочлен степени до 2n-1, что делает её гораздо точнее формул с равномерным шагом — таких как метод трапеций или метод Симпсона.

Как пользоваться калькулятором

Задайте порядок \(n\) (число точек, от 2 до 100) и при желании укажите количество значащих цифр для вывода. Калькулятор выдаст таблицу из \(n\) строк, в каждой из которых будут узел \(x_i\) и его вес \(w_i\). Узлы симметричны относительно нуля и все лежат строго внутри интервала (-1, 1); веса положительны и в сумме дают ровно 2 — длину отрезка. Чтобы интегрировать по произвольному отрезку [a, b], пересчитайте каждый узел по формуле \(t_i = \frac{b-a}{2} \cdot x_i + \frac{a+b}{2}\) и умножьте каждый вес на \(\frac{b-a}{2}\).

Разбор формулы

Узлы — это \(n\) корней многочлена Лежандра \(P_n(x)\), который строится по рекуррентному соотношению Бонне: \(P_0 = 1\), \(P_1 = x\) и $$P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}.$$ Каждый вес равен $$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}},$$ где производная вычисляется как $$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\left(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x)\right)}{x^{2} - 1}.$$ Корни находятся методом Ньютона с начальным приближением \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\), которое сходится за несколько итераций.

Квадратура Гаусса-Лежандра приближает интеграл взвешенной суммой значений функции в специально выбранных узлах.

Разобранный пример (n = 3)

Корни многочлена \(P_3\) равны \(x = 0\) и \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\). Вес в точке \(x = 0\) равен \(\frac{8}{9} = 0.888888889\), а вес в каждой из точек \(x = \pm 0.7745966692\) равен \(\frac{5}{9} = 0.555555556\). Сумма весов составляет $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2,$$ и эта трёхточечная формула точно интегрирует многочлены степени до 5.

Трёхточечное правило использует центральный узел и два симметричных внешних узла, причём центральному узлу придаётся наибольший вес.

Частые вопросы

Почему сумма весов равна 2? Интеграл от постоянной функции \(f(x) = 1\) на отрезке [-1, 1] равен 2, а квадратура обязана точно воспроизводить константы, поэтому сумма весов должна совпадать с длиной отрезка.

Насколько точны результаты? Расчёт ведётся с двойной точностью и даёт около 15 значащих цифр. Если запросить больше цифр, результат округляется до того, что способна представить двойная точность.

Какова максимальная степень, интегрируемая точно? \(n\)-точечная формула точна для всех многочленов степени до \(2n-1\) включительно.