什么是高斯-勒让德求积计算器？
这个工具用于计算 n 点高斯-勒让德求积公式在标准区间 [-1, 1] 上的节点（横坐标）与权重。高斯-勒让德求积是一种数值积分方法，它把定积分近似为函数值的加权求和：f(x) 在 -1 到 1 上的积分约等于各个 \(w_i\) 乘以 \(f(x_i)\) 之和。仅用 \(n\) 个节点，它就能精确积分次数不超过 \(2n-1\) 的任意多项式，因此比梯形法、辛普森法等等距节点方法精确得多。
使用方法
选择阶数 \(n\)（即节点数量，范围 2 到 100），还可以选填希望显示的有效数字位数。计算器会返回一张 \(n\) 行的表格，每行给出一个节点 \(x_i\) 及其对应的权重 \(w_i\)。这些节点关于 0 对称，且全部严格落在 \((-1, 1)\) 区间内；权重均为正数，总和恰好等于 2，也就是区间的长度。若要在任意区间 [a, b] 上积分，可用 \(t_i = \frac{b-a}{2} \times x_i + \frac{a+b}{2}\) 对每个节点做映射，并将每个权重乘以 \(\frac{b-a}{2}\)。
公式详解
节点是勒让德多项式 \(P_n(x)\) 的 \(n\) 个根，该多项式由 Bonnet 递推关系构造：\(P_0=1\)，\(P_1=x\)，以及 $$P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}.$$ 每个权重为 $$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}},$$ 其中导数 \(P_n^{\prime}(x) = \frac{n\,(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x))}{x^2 - 1}\)。根通过牛顿迭代法求得，初始值取 \(x = \cos\!\left(\frac{\pi\,(i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\)，通常只需几步即可收敛。
![[-1,1]上的光滑函数在若干非均匀对称节点处采样，并带有加权贡献](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-1-6a54317456/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
实例演算（n = 3）
\(P_3\) 的根为 \(x = 0\) 和 \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\)。\(x = 0\) 处的权重为 \(\frac{8}{9} = 0.888888889\)，每个 \(x = \pm 0.7745966692\) 处的权重为 \(\frac{5}{9} = 0.555555556\)。权重之和为 $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2,$$ 这个 3 点公式可精确积分次数不超过 5 的多项式。
![[-1,1]上三个对称的高斯-勒让德节点，中心节点的权重更大](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-a8fd6492e0/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
常见问题
为什么权重之和等于 2？常数函数 \(f(x) = 1\) 在 [-1, 1] 上的积分等于 2，而求积公式必须能精确再现常数，因此权重总和必然等于区间长度。
计算结果有多精确？本工具采用双精度浮点重建，可提供约 15 位有效数字。若要求显示更多位数，超出双精度可表示范围的部分会被舍入处理。
能精确积分的最高次数是多少？\(n\) 点公式对次数不超过 \(2n-1\) 的所有多项式都是精确的。
