Máy tính cầu phương Gauss-Legendre là gì?
Công cụ này tính các nút (hoành độ) và trọng số của quy tắc cầu phương Gauss-Legendre n điểm trên đoạn tham chiếu [-1, 1]. Cầu phương Gauss-Legendre là một phương pháp tích phân số, xấp xỉ tích phân xác định bằng tổng có trọng số của các giá trị hàm số: tích phân của \(f(x)\) từ -1 đến 1 xấp xỉ bằng tổng theo \(i\) của \(w_i\) nhân \(f(x_i)\). Chỉ với \(n\) điểm, phương pháp này tính chính xác mọi đa thức có bậc đến \(2n-1\), nhờ đó chính xác hơn hẳn so với các quy tắc dùng điểm cách đều như quy tắc hình thang hay quy tắc Simpson.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$Cách sử dụng
Hãy chọn bậc \(n\) (số điểm, từ 2 đến 100) và tùy chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Máy tính sẽ trả về một bảng gồm \(n\) dòng, mỗi dòng có một nút \(x_i\) và trọng số \(w_i\) tương ứng. Các nút đối xứng quanh điểm 0 và đều nằm hẳn bên trong khoảng \((-1, 1)\); các trọng số đều dương và có tổng đúng bằng 2 — chính là độ dài của đoạn. Để tính tích phân trên một đoạn \([a, b]\) bất kỳ, hãy ánh xạ mỗi nút theo công thức \(t_i = \frac{b-a}{2} x_i + \frac{a+b}{2}\) và nhân mỗi trọng số với \(\frac{b-a}{2}\).
Giải thích công thức
Các nút chính là \(n\) nghiệm của đa thức Legendre \(P_n(x)\), được xây dựng bằng hệ thức truy hồi Bonnet: \(P_0=1\), \(P_1=x\), và \(P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}\). Mỗi trọng số được tính bằng
$$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}}$$trong đó đạo hàm là \(P_n'(x) = \frac{n\,(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x))}{x^2 - 1}\). Các nghiệm được tìm bằng phương pháp Newton với giá trị khởi đầu \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\), hội tụ chỉ sau vài bước lặp.
![Hàm trơn trên [-1,1] được lấy mẫu tại vài nút đối xứng không đều với các đóng góp có trọng số](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-1-6a54317456/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Ví dụ minh họa (n = 3)
Các nghiệm của \(P_3\) là \(x = 0\) và \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0{,}7745966692\). Trọng số tại \(x = 0\) là \(\frac{8}{9} = 0{,}888888889\), còn trọng số tại mỗi điểm \(x = \pm 0{,}7745966692\) là \(\frac{5}{9} = 0{,}555555556\). Tổng các trọng số là
$$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2$$và quy tắc 3 điểm này tính chính xác các đa thức có bậc đến 5.
![Ba nút Gauss-Legendre đối xứng trên [-1,1] với nút trung tâm mang trọng số lớn hơn](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-a8fd6492e0/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Câu hỏi thường gặp
Vì sao tổng các trọng số bằng 2? Tích phân hàm hằng \(f(x) = 1\) trên \([-1, 1]\) cho kết quả bằng 2, và phép cầu phương phải tái tạo chính xác hàm hằng, nên tổng các trọng số phải đúng bằng độ dài của đoạn.
Kết quả chính xác đến đâu? Đây là cách tính lại bằng độ chính xác kép (double precision), cho khoảng 15 chữ số có nghĩa. Nếu bạn chọn hiển thị nhiều chữ số hơn, kết quả sẽ được làm tròn theo giới hạn mà độ chính xác kép có thể biểu diễn.
Bậc tối đa được tính chính xác là bao nhiêu? Quy tắc \(n\) điểm tính chính xác mọi đa thức có bậc đến \(2n-1\).
