Máy Tính Tích Phân Số Gauss-Chebyshev (Loại Một)

Phương pháp	Cầu phương Gauss-Chebyshev, loại một
Số nút (n)	10

Công cụ này làm gì

Công cụ này tính gần đúng một tích phân xác định bằng phương pháp cầu phương Gauss-Chebyshev loại một — quy tắc Gauss gắn với hàm trọng số Chebyshev $w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}$ trên khoảng $[-1, 1]$. Ưu điểm lớn của nó là các nút và trọng số đều có công thức tường minh, nên bạn không cần tra bảng: các nút là cosin của những góc cách đều nhau, còn mọi trọng số đều bằng $\pi/n$.

Cách sử dụng

Trước hết, hãy chọn loại hàm dưới dấu tích phân. Ở chế độ mặc định g(x) trên [a,b], bạn nhập một hàm $g(x)$ bất kỳ, cận dưới $a$, cận trên $b$ và số điểm chia $n$. Máy tính sẽ ánh xạ khoảng $[-1, 1]$ sang $[a, b]$ rồi nhân với $\sqrt{1 - x_i^2}$ để khử hàm trọng số Chebyshev ẩn, từ đó cho ra ước lượng của tích phân thông thường. Ở chế độ f(x) trên [-1,1], hàm số được xem là biểu thức dưới dấu tích phân có trọng số, và các cận được cố định là $[-1, 1]$. Cú pháp được hỗ trợ gồm + - * / ^, dấu ngoặc, cùng các hàm sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, và các hằng số pi và e. Lưu ý các hàm lượng giác dùng đơn vị radian.

Giải thích công thức

Với $\text{step} = \pi/(2n)$ và $\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}$, ta có nút $x_i = \cos(\theta_i)$ và $\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}$. Đối với tích phân thông thường, quy tắc là tổng của $(b-a)/2$ nhân $\pi/n$ nhân $\sin(\theta_i)$ nhân $g$ tại điểm đã được ánh xạ. Còn tích phân có trọng số trên $[-1,1]$ đơn giản chỉ là $(\pi/n)$ nhân tổng các giá trị $f$ tại các nút.

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right.$$

Quảng cáo

Các nút Chebyshev được chiếu từ những điểm cách đều trên nửa đường tròn xuống trục x, dồn lại gần hai đầu mút — Các nút Gauss-Chebyshev xuất phát từ các góc cách đều trên nửa đường tròn, nên chúng dồn về hai đầu khoảng.

Ví dụ minh họa

Hãy tính tích phân $g(x) = x^2$ từ 0 đến 1 với $n = 3$. Ba nút cho ra các số hạng $0.4352563$, $0.25$ và $0.0022436$, cộng lại được $0.6874999$. Nhân với $(b-a)/2 = 0.5$ rồi nhân với $\pi/3 = 1.0471976$, ta thu được khoảng $0.359957$. Giá trị chính xác là $1/3$; khi nâng $n$ lên 10, kết quả vào khoảng $0.33408$, ngày càng tiến gần đến $0.3333$.

Diện tích dưới đường cong được xấp xỉ bằng các mẫu có trọng số tại các điểm cách nhau không đều giữa a và b — Phép cầu phương cộng các giá trị hàm có trọng số tại các nút để ước lượng diện tích dưới đường cong.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao kết quả với đa thức của tôi không khớp chính xác? Việc khử hàm trọng số Chebyshev bằng thừa số $\sqrt{\phantom{x}}$ làm cho tốc độ hội tụ chậm hơn so với Gauss-Legendre. Hãy tăng $n$ đối với các hàm trơn.

a có thể bằng b không? Có; khi đó thừa số $(b-a)/2$ khiến kết quả bằng 0. Nếu $a$ lớn hơn $b$, dấu sẽ tự động đảo lại.

Nếu hàm số phân kỳ tại các cận thì sao? Các nút nằm hoàn toàn bên trong khoảng, nên thường tránh được điểm kỳ dị ở hai đầu mút; tuy nhiên, nếu hàm không xác định tại bất kỳ nút nào, kết quả sẽ không hữu hạn.