ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تقدّم لك هذه الأداة تقديرًا تقريبيًا للتكامل المحدد باستخدام تربيع غاوس-تشيبيشيف من النوع الأول، وهي قاعدة غاوسية مرتبطة بدالة الوزن لتشيبيشيف \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) على المجال \([-1, 1]\). وما يميّزها حقًا أن العقد والأوزان تأتي بصيغة مغلقة بسيطة، فلا حاجة إلى أي جدول مرجعي: فالعقد هي جيوب تمام لزوايا متساوية المسافات، وكل وزن يساوي \(\pi/n\).
طريقة الاستخدام
اختر أولًا نوع المُكامَل (الدالة المراد تكاملها). في الوضع الافتراضي g(x) على [a,b] أدخل أي دالة عادية \(g(x)\)، ثم الحدّ الأدنى \(a\) والحدّ الأعلى \(b\) وعدد نقاط التقسيم \(n\). تقوم الحاسبة بتحويل المجال \([-1, 1]\) إلى المجال \([a, b]\) وتضرب في \(\sqrt{1 - x_i^2}\) لإلغاء وزن تشيبيشيف الضمني، فتحصل على تقدير للتكامل الاعتيادي. أمّا في وضع f(x) على [-1,1] فتُعامَل الدالة على أنها المُكامَل ضمن التكامل الموزون، وتكون الحدود ثابتة عند \([-1, 1]\). يدعم النظام الرموز التالية: + - * / ^ والأقواس، إضافة إلى sin وcos وtan وasin وacos وatan وexp وln وlog وsqrt وabs، فضلًا عن الثابتين pi وe. تُستخدم الراديان في الدوال المثلثية.
شرح الصيغة الرياضية
إذا كانت الخطوة \(\text{step} = \pi/(2n)\) والزاوية \(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}\)، فإن العقدة هي \(x_i = \cos(\theta_i)\) ويكون \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\). بالنسبة للتكامل العادي تُحسب القاعدة بجمع حدود مقدار كل منها \((b-a)/2\) مضروبًا في \(\pi/n\) مضروبًا في \(\sin(\theta_i)\) مضروبًا في \(g\) عند النقطة المحوَّلة. أمّا التكامل الموزون على \([-1,1]\) فهو ببساطة \((\pi/n)\) مضروبًا في مجموع قيم \(f\) عند العقد.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$$$\begin{gathered} \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنحسب تكامل \(g(x) = x^2\) من \(0\) إلى \(1\) مع \(n = 3\). تعطينا العقد الثلاث الحدود \(0.4352563\) و\(0.25\) و\(0.0022436\)، ومجموعها \(0.6874999\). نضرب في \((b-a)/2 = 0.5\) وفي \(\pi/3 = 1.0471976\) لنحصل على ما يقارب \(0.359957\). القيمة الحقيقية هي \(1/3\)؛ وعند رفع \(n\) إلى \(10\) نحصل على ما يقارب \(0.33408\)، وهو ما يقترب تدريجيًا من \(0.3333\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تتطابق نتيجة كثير الحدود تمامًا؟ إن إلغاء وزن تشيبيشيف عبر معامل الجذر التربيعي يجعل التقارب أبطأ من طريقة غاوس-ليجاندر. زِد قيمة \(n\) للدوال الملساء.
هل يمكن أن تتساوى a مع b؟ نعم؛ ففي هذه الحالة يجعل المعامل \((b-a)/2\) النتيجة صفرًا. وإذا كانت \(a\) أكبر من \(b\)، فإن الإشارة تنقلب تلقائيًا.
ماذا لو تباعدت الدالة عند الحدود؟ تقع العقد تمامًا داخل المجال، لذا تُتجنّب عادةً الشذوذات عند نقاط النهاية، لكن أي قيمة غير معرَّفة عند إحدى العقد ستؤدي إلى نتيجة غير منتهية.
