この計算ツールでできること
このツールは、第1種ガウス・チェビシェフ求積法を用いて定積分を近似計算します。これは、区間 [-1, 1] 上のチェビシェフ重み関数 \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) に対応するガウス型の積分公式です。最大の利点は、分点（ノード）と重みが簡潔な閉じた式で表せる点にあります。そのため数表を参照する必要がなく、分点は等間隔の角度の余弦（cos）として与えられ、すべての重みは \(\pi/n\) に等しくなります。
使い方
まず被積分関数のタイプを選びます。標準の 区間 [a,b] 上の g(x) モードでは、任意の関数 \(g(x)\)、下限 \(a\)、上限 \(b\)、分点数 \(n\) を入力します。このツールは [-1, 1] を [a, b] へ写像し、\(\sqrt{1 - x_i^2}\) を掛けることで内部に含まれるチェビシェフ重みを打ち消し、通常の積分値の近似を得ます。一方、区間 [-1,1] 上の f(x) モードでは、入力した関数を重み付き積分の被積分関数として扱い、積分区間は [-1, 1] に固定されます。使用できる記法は + - * / ^、括弧のほか、sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs、および定数 pi と e です。三角関数の引数はラジアンで指定します。
計算式の解説
\(\text{step} = \pi/(2n)\)、\(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}\) とおくと、分点は \(x_i = \cos(\theta_i)\)、また \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\) となります。通常の積分の場合、求積公式は $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$ で表されます。一方、重み付き [-1,1] 積分は、単純に各分点における \(f\) の値の総和に \((\pi/n)\) を掛けたものになります。
計算例
\(g(x) = x^2\) を 0 から 1 まで、\(n = 3\) で積分してみましょう。3つの分点から得られる項は \(0.4352563\)、\(0.25\)、\(0.0022436\) となり、合計は \(0.6874999\) です。これに \((b-a)/2 = 0.5\) と \(\pi/3 = 1.0471976\) を掛けると、約 \(0.359957\) が得られます。真の値は \(1/3\) ですが、\(n\) を 10 に増やすと約 \(0.33408\) となり、\(0.3333\) へと収束していきます。
よくある質問
多項式の計算結果が正確に一致しないのはなぜですか？ sqrt の係数を用いてチェビシェフ重みを取り除いているため、ガウス・ルジャンドル法と比べて収束が遅くなります。滑らかな関数では \(n\) を大きくしてみてください。
a と b を同じ値にできますか？ はい。その場合は \((b-a)/2\) の因子により結果は 0 になります。また \(a\) が \(b\) より大きい場合は、符号が自動的に反転します。
積分区間の端点で関数が発散する場合はどうなりますか？ 分点は区間の内部に厳密に位置するため、端点の特異点は通常回避されます。ただし、いずれかの分点で関数が定義されない値をとる場合は、有限でない結果となります。
