高斯-切比雪夫(第一类)数值积分计算器

输入计算

结果

积分近似值

0.33541367

高斯-切比雪夫(第一类)估计值

方法	第一类高斯-切比雪夫求积法
节点个数(n)	10

这个计算器能做什么

本工具采用第一类高斯-切比雪夫求积法来近似计算定积分。它是与切比雪夫权函数 $w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}$ 在区间 $[-1, 1]$ 上相对应的高斯型求积公式。它最大的优点在于节点与权重都有简洁的闭式表达式,无需查表:节点就是一组等间距角度的余弦值,而每个权重都等于 $\pi/n$。

使用方法

先选择被积函数的类型。在默认的 g(x) over [a,b](在 [a,b] 上) 模式下,输入任意普通函数 $g(x)$、积分下限 $a$、上限 $b$ 以及分点个数 $n$。计算器会把 $[-1, 1]$ 映射到 $[a, b]$,并乘以 $\sqrt{1 - x_i^2}$ 来抵消隐含的切比雪夫权重,从而得到普通积分的估计值。在 f(x) over [-1,1] 模式下,函数会被视为带权积分的被积函数,积分限固定为 $[-1, 1]$。支持的语法包括 $+$ $-$ $*$ $/$ $\hat{}$、括号,以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log、sqrt、abs,还有常数 $\pi$ 和 $e$。三角函数使用弧度制。

公式解析

设 $\text{step} = \pi/(2n)$、$\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}$,则节点为 $x_i = \cos(\theta_i)$,且 $\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}$。对于普通积分,求积公式即为各项 $(b-a)/2$ 乘以 $\pi/n$ 乘以 $\sin(\theta_i)$ 乘以映射点处 $g$ 值之和。

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$

而带权的 $[-1,1]$ 积分则简单地等于 $(\pi/n)$ 乘以各节点处 $f$ 值之和。

由半圆上等间隔的点投影到x轴的切比雪夫节点，在端点附近聚集 — 高斯-切比雪夫节点源自半圆上等间隔的角度，因此会向区间端点处聚集。

计算实例

取 $g(x) = x^2$,在 $0$ 到 $1$ 上以 $n = 3$ 进行积分。三个节点给出的各项分别为 $0.4352563$、$0.25$ 和 $0.0022436$,相加得 $0.6874999$。再乘以 $(b-a)/2 = 0.5$ 和 $\pi/3 = 1.0471976$,约得 $0.359957$。其真实值为 $1/3$;若把 $n$ 提高到 $10$,结果约为 $0.33408$,逐渐收敛到 $0.3333$。