什么是高斯-埃尔米特求积法？
高斯-埃尔米特求积法（Gauss-Hermite quadrature）是一种针对整个实数轴（从负无穷到正无穷）上积分的数值积分方法。它以高斯权函数 \(e^{-x^2}\) 为核心，对于次数不超过 \(2n-1\) 的任意多项式（在去掉权函数的意义下）都能给出精确结果。由于这纯粹是数学方法，无论身处哪个国家、使用何种单位制，公式都完全一致。它在物理学、统计学（计算正态分布下的期望值）以及工程领域中应用十分广泛。
如何使用本计算器
首先选择被积函数的形式。如果你输入的是希望在 \((-\infty, \infty)\) 上积分的完整函数，请选择 g(x)；如果你已经把 \(e^{-x^2}\) 这个权函数单独提了出来，则选择 f(x)。接着以变量 \(x\) 写出表达式（可使用 exp、log、sqrt、sin、cos、tan、sinh、cosh、abs、pi、e、^ 以及常见的运算符）。最后设定节点数 \(n\)。对于光滑、近似高斯型的被积函数，节点数越多精度越高；常用取值在 8 到 30 之间。
公式详解
该方法在物理学家版埃尔米特多项式 \(H_n(x)\) 的 \(n\) 个根 \(x_i\) 处计算被积函数的值，并配以权重 \(w_i = \dfrac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\, [H_{n-1}(x_i)]^2}\) 进行加权求和。在 \(f\) 模式下，估计值为 $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ 之和；在 \(g\) 模式下，则通过修正权重 \(W_i = w_i e^{x_i^2}\) 把权函数重新除回去，得到 $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ 之和。这里的节点和权重由数值稳定的 Golub-Welsch 算法生成，它把节点与权重求解为一个对称三对角雅可比矩阵的特征值和特征向量。
实例演算
以 \(f\) 模式为例，取 \(f(x) = 1\) 且 \(n = 2\)。两个节点为 \(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)，权重相等，均为 \(w = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} = 0.8862269255\)。求和得 $$0.8862269255 + 0.8862269255 = 1.7724538509,$$ 恰好等于 \(\sqrt{\pi}\)，也就是 \(e^{-x^2}\) 在整条实轴上积分的真实值。等价地，在 \(g\) 模式下取 \(g(x) = \exp(-x^2)\) 且 \(n = 2\)，修正权重会还原出同样的结果 \(1.7724538509\)。
常见问题
什么情况下收敛较慢？当被积函数无法很好地用 \(e^{-x^2}\) 乘以多项式来近似时，例如多项式衰减缓慢、尾部偏厚（重尾）或在实轴上存在奇点的函数。此时可增大 \(n\) 或改用其他方法。
\(g\) 模式中的 \(e^{x_i^2}\) 因子起什么作用？它用来抵消内置的高斯权函数，使你能够直接输入完整的被积函数。对于靠外的节点，这个因子可能变得很大，因此为了获得理想结果，\(g(x)\) 的衰减速度至少应不慢于 \(e^{-x^2}\)。
该方法对多项式是否精确？是的。在 \(f\) 模式下，它能精确积分次数不超过 \(2n-1\) 的任意多项式。
