Что вычисляет этот калькулятор
Этот инструмент приближённо находит определённый интеграл с помощью квадратуры Гаусса–Чебышёва первого рода — гауссовой формулы, связанной с весовой функцией Чебышёва \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) на отрезке \([-1, 1]\). Главное её преимущество в том, что узлы и веса имеют простой явный вид, поэтому никакие таблицы не нужны: узлы — это косинусы равномерно расположенных углов, а каждый вес равен \(\pi/n\).
Как пользоваться
Сначала выберите тип подынтегрального выражения. В режиме по умолчанию — g(x) на [a,b] — введите произвольную функцию \(g(x)\), нижний предел \(a\), верхний предел \(b\) и число точек разбиения \(n\). Калькулятор отображает отрезок \([-1, 1]\) на \([a, b]\) и умножает результат на \(\sqrt{1 - x_i^2}\), чтобы скомпенсировать неявный вес Чебышёва и получить оценку обычного интеграла. В режиме f(x) на [−1,1] функция трактуется как подынтегральное выражение взвешенного интеграла, а пределы фиксированы как \([-1, 1]\). Поддерживается синтаксис + − * / ^, скобки, а также функции sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs и константы pi и e. Тригонометрические функции работают в радианах.
Разбор формулы
Пусть \(\text{step} = \pi/(2n)\) и \(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}\). Тогда узел равен \(x_i = \cos(\theta_i)\), а \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\). Для обычного интеграла формула представляет собой сумму произведений \((b-a)/2\) на \(\pi/n\), на \(\sin(\theta_i)\) и на значение \(g\) в отображённой точке. Взвешенный интеграл на \([-1,1]\) — это просто \((\pi/n)\), умноженное на сумму значений \(f\) в узлах.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$$$\begin{gathered} \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Разобранный пример
Проинтегрируем \(g(x) = x^2\) от 0 до 1 при \(n = 3\). Три узла дают слагаемые \(0.4352563\), \(0.25\) и \(0.0022436\), в сумме — \(0.6874999\). Умножаем на \((b-a)/2 = 0.5\) и на \(\pi/3 = 1.0471976\) и получаем примерно \(0.359957\). Точное значение равно \(1/3\); при увеличении \(n\) до 10 выходит около \(0.33408\), что приближается к \(0.3333\).
Частые вопросы
Почему результат для многочлена не совпадает в точности? Деление на вес Чебышёва через множитель \(\sqrt{\phantom{x}}\) замедляет сходимость по сравнению с методом Гаусса–Лежандра. Для гладких функций просто увеличивайте \(n\).
Можно ли задать \(a = b\)? Да; множитель \((b-a)/2\) обращает результат в 0. Если \(a\) больше \(b\), знак меняется автоматически.
Что делать, если функция уходит в бесконечность на границах? Узлы лежат строго внутри отрезка, поэтому особенности на концах обычно обходятся стороной, однако неопределённое значение в любом из узлов даст неконечный результат.
