高斯-切比雪夫（第一類）數值積分計算器

方法	高斯-切比雪夫求積法（第一類）
節點數（n）	10

這個計算器的用途

本工具採用第一類高斯-切比雪夫求積法來近似定積分。這是搭配切比雪夫權函數 $w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}$、定義於區間 $[-1, 1]$ 上的高斯型積分法則。它最大的優點在於節點與權重都有簡潔的封閉形式，完全不需要查表：節點是一系列等間隔角度的餘弦值，而每個權重一律等於 $\pi/n$。

如何使用

首先選擇被積函數的類型。在預設的 g(x) 於 [a,b] 模式下，請輸入任意一般函數 $g(x)$、積分下限 $a$、上限 $b$，以及分割點數 $n$。計算器會把 $[-1, 1]$ 映射到 $[a, b]$，並乘上 $\sqrt{1 - x_i^2}$ 以抵銷隱含的切比雪夫權重，進而得到一般積分的估計值。在 f(x) 於 [−1,1] 模式下，函數會被視為帶權積分的被積函數，積分區間則固定為 $[-1, 1]$。支援的語法包括 + − * / ^、括號，以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log、sqrt、abs，另有常數 $\pi$ 與 $e$。三角函數一律以弧度為單位。

公式說明

令 $\text{step} = \pi/(2n)$、$\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}$，則節點為 $x_i = \cos(\theta_i)$，且 $\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}$。對於一般積分，其法則為 $(b-a)/2$ 乘以 $\pi/n$、再乘以 $\sin(\theta_i)$、最後乘以映射點處的 $g$ 值，將所有項加總。至於 $[-1,1]$ 上的帶權積分，則直接是 $(\pi/n)$ 乘以各節點處 $f$ 值的總和。

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$$$\begin{gathered} \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

由半圓上等間隔的點投影到x軸的切比雪夫節點，在端點附近聚集 — 高斯-切比雪夫節點源自半圓上等間隔的角度，因此會向區間端點處聚集。

範例演算

以 $n = 3$ 計算 $g(x) = x^2$ 在 0 到 1 之間的積分。三個節點分別得到 $0.4352563$、$0.25$ 與 $0.0022436$，加總為 $0.6874999$。再乘上 $(b-a)/2 = 0.5$ 與 $\pi/3 = 1.0471976$，約得 $0.359957$。真實值為 $1/3$；若把 $n$ 提高到 10，結果約為 $0.33408$，逐漸收斂至 $0.3333$。