이 계산기의 기능
이 도구는 가우스-체비쇼프 제1종 구적법을 사용해 정적분을 근사합니다. 이는 구간 [-1, 1]에서 체비쇼프 가중함수 \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\)에 대응하는 가우스 적분 규칙입니다. 가장 큰 장점은 노드와 가중치가 간단한 닫힌 형태로 주어진다는 점인데, 덕분에 별도의 표를 찾아볼 필요가 없습니다. 노드는 등간격 각도의 코사인 값이고, 모든 가중치는 똑같이 \(\pi/n\)입니다.
사용 방법
먼저 피적분함수 유형을 고르세요. 기본 모드인 [a,b] 구간의 g(x)에서는 임의의 일반 함수 \(g(x)\)와 아래끝 \(a\), 위끝 \(b\), 그리고 분할점 개수 \(n\)을 입력하면 됩니다. 계산기는 [-1, 1]을 [a, b]로 사상한 뒤 \(\sqrt{1 - x_i^2}\)를 곱해 내재된 체비쇼프 가중치를 상쇄하므로, 일반 적분에 대한 추정값을 얻을 수 있습니다. [-1,1] 구간의 f(x) 모드에서는 함수를 가중 적분의 피적분함수로 간주하며 적분 구간은 [-1, 1]로 고정됩니다. 지원하는 문법은 + - * / ^, 괄호, 그리고 sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs 함수와 상수 pi, e입니다. 삼각함수는 라디안 단위를 사용합니다.
공식 풀이
\(\text{step} = \pi/(2n)\), \(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}\)로 두면 노드는 \(x_i = \cos(\theta_i)\)이고 \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\)가 됩니다. 일반 적분의 경우 규칙은 \((b-a)/2\)와 \(\pi/n\), \(\sin(\theta_i)\), 그리고 사상된 점에서의 \(g\) 값을 모두 곱한 항들의 합입니다. [-1,1]의 가중 적분은 단순히 \((\pi/n)\)에 각 노드에서의 \(f\) 값의 합을 곱한 것입니다.
$$\begin{gathered} \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
예제 풀이
\(g(x) = x^2\)를 0부터 1까지 \(n = 3\)으로 적분해 봅시다. 세 노드에서 나오는 항은 각각 0.4352563, 0.25, 0.0022436이며 이를 더하면 0.6874999입니다. 여기에 \((b-a)/2 = 0.5\)와 \(\pi/3 = 1.0471976\)을 곱하면 약 0.359957이 나옵니다. 참값은 \(1/3\)이며, \(n\)을 10으로 높이면 약 0.33408로 0.3333에 점점 수렴합니다.
자주 묻는 질문
다항식 결과가 정확히 일치하지 않는 이유는 무엇인가요? sqrt 인자를 통해 체비쇼프 가중치를 나누어 없애면 가우스-르장드르 방식보다 수렴 속도가 느려집니다. 매끄러운 함수라면 \(n\)을 키워 보세요.
a와 b가 같아도 되나요? 됩니다. \((b-a)/2\) 인자 때문에 결과가 0이 됩니다. 만약 \(a\)가 \(b\)보다 크면 부호가 자동으로 바뀝니다.
함수가 적분 구간 끝에서 발산하면 어떻게 되나요? 노드는 구간 내부에만 엄밀히 위치하므로 끝점 특이점은 대개 피할 수 있습니다. 다만 어떤 노드에서든 정의되지 않은 값이 나오면 결과가 유한하지 않게 됩니다.
