什麼是高斯-拉蓋爾求積法？
高斯-拉蓋爾求積法（Gauss-Laguerre quadrature）是一種數值積分方法，專門用來近似定義在半無限區間 \((0, \infty)\) 上、且被積函數隨指數衰減的瑕積分。它的核心概念是：把積分換成在一組精心挑選的取樣點（稱為「節點」）上的加權總和。對於指定的階數 \(n\)，此規則對任何次數不超過 \(2n-1\) 的多項式（在權重函數 \(x^{\alpha} e^{-x}\) 之下）都能算出完全精確的結果。正因如此，只要被積函數夠平滑，僅需少數幾個取值點便能達到相當高的精確度。
如何使用本計算器
首先選擇輸入模式。如果你的積分已經寫成 \(x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx\) 的形式，而你只想輸入其中的因子 \(f\)，請選擇 f(x)。如果你手上是一個定義在 \((0, \infty)\) 上的完整被積函數 \(g(x)\)，請選擇 g(x)，此時計算器會自動把內建的權重函數除掉。接著以變數 \(x\) 並使用標準寫法輸入函數（+、-、*、/、^、sqrt、exp、ln、sin、cos、tan 等），設定節點數 \(n\)，再設定權重參數 \(\alpha\)（標準的高斯-拉蓋爾求積法請填 0）。對於平滑函數而言，增加 \(n\) 可提升精確度。
公式解析
節點 \(x_i\) 是廣義拉蓋爾多項式 \(L_n^{(\alpha)}(x)\) 的根，而權重 \(w_i\) 則透過 Golub-Welsch 演算法求得：先建立一個對稱三對角的 Jacobi 矩陣，其特徵值即為節點；至於 \(w_i\)，則等於 \(\Gamma(\alpha+1)\) 乘上每個標準化特徵向量第一個分量的平方。最後，積分值便以上方所示的加權總和來近似。
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
範例演算
設定 \(\alpha = 0\)、\(n = 2\)、模式 \(f(x)\)、\(f(x) = x^2\)（也就是估計 \(\int x^2 e^{-x}\, dx\)，其精確值為 \(\Gamma(3) = 2\)）。兩個節點分別為 \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0.585786\)，權重 \(w_1 = 0.853553\)；\(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3.414214\)，權重 \(w_2 = 0.146447\)。加權總和為 $$0.853553 \times 0.343146 + 0.146447 \times 11.656854 = 0.292893 + 1.707107 = 2.000000$$ 與精確答案完全吻合——因為 \(x^2\) 是次數為 2 的多項式，而 \(2 \le 2n-1 = 3\)。
常見問題
參數 \(\alpha\) 有什麼作用？它決定權重函數 \(x^{\alpha} e^{-x}\) 中的指數。標準高斯-拉蓋爾求積法請使用 \(\alpha = 0\)。數值必須滿足 \(\alpha > -1\)，權重函數才能保持可積分。
為什麼我的結果不準確？可能是被積函數不夠平滑，或是它在 \((0, \infty)\) 上衰減得不夠快。此規則一定會回傳一個有限數值，但唯有當真實積分收斂、且被積函數能被「多項式乘上權重」良好近似時，結果才有意義。可以逐步增加 \(n\) 來檢驗其收斂性。
f 模式與 g 模式有何不同？在 f 模式下，你只需提供乘上內建權重的那個因子；在 g 模式下，你提供完整的被積函數，權重會在加總過程中被消去。只要設定一致，兩種模式會得到相同的答案。
