Gauss-Laguerre kuadratürü nedir?
Gauss-Laguerre kuadratürü; integrandı üstel olarak (exponansiyel biçimde) sönen ve (0, sonsuz) yarı sonsuz aralığında tanımlı has olmayan integralleri yaklaşık olarak hesaplamaya yarayan sayısal bir yöntemdir. İntegrali, düğüm (node) adı verilen özenle seçilmiş noktalarda hesaplanan ağırlıklı bir toplamla değiştirir. Seçilen bir n derecesi için kural, (\(x^{\alpha} \cdot e^{-x}\) ağırlığına karşı) \(2n-1\) dereceye kadar olan tüm polinomlar için tam sonuç verir; bu da yalnızca birkaç fonksiyon değerlendirmesiyle düzgün integrandlarda dikkat çekici bir doğruluk sağlar.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Önce bir giriş modu seçin. İntegraliniz zaten \(x^{\alpha} \cdot e^{-x} \cdot f(x)\, dx\) biçimindeyse ve yalnızca f çarpanını yazmak istiyorsanız f(x) modunu seçin. (0, sonsuz) üzerinde tam bir integrand \(g(x)\)'iniz varsa g(x) modunu seçin; bu durumda araç, yerleşik ağırlığı otomatik olarak böler. Fonksiyonu x değişkeniyle standart gösterimle girin (+, -, *, /, ^, sqrt, exp, ln, sin, cos, tan vb.), düğüm sayısı n'i belirleyin ve ağırlık parametresi alfa'yı ayarlayın (sıradan Gauss-Laguerre için 0 kullanın). n değerini artırmak, düzgün fonksiyonlarda doğruluğu iyileştirir.
Formülün açıklaması
\(x_i\) düğümleri, genelleştirilmiş Laguerre polinomu \(L_n^{(\alpha)}(x)\)'in kökleridir; \(w_i\) ağırlıkları ise Golub-Welsch algoritmasıyla elde edilir: simetrik üç köşegenli Jacobi matrisinin özdeğerleri düğümleri verirken, \(w_i = \Gamma(\alpha+1)\) çarpı her normalize edilmiş özvektörün ilk bileşeninin karesidir. İntegral daha sonra yukarıda gösterilen ağırlıklı toplamla yaklaşık olarak hesaplanır:
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
Çözümlü örnek
\(\alpha = 0\), \(n = 2\), f(x) modu ve \(f(x) = x^2\) alalım (yani \(\int x^2 \cdot e^{-x}\, dx\) integralini tahmin ediyoruz; tam değeri \(\Gamma(3) = 2\)'dir). İki düğüm şöyledir: \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0{,}585786\) ile \(w_1 = 0{,}853553\) ve \(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3{,}414214\) ile \(w_2 = 0{,}146447\). Toplam $$0{,}853553 \times 0{,}343146 + 0{,}146447 \times 11{,}656854 = 0{,}292893 + 1{,}707107 = 2{,}000000$$ olur; \(x^2\), derecesi \(2 \le 2n-1 = 3\) olan bir polinom olduğu için sonuç tam değerle birebir örtüşür.
Sıkça sorulan sorular
Alfa parametresi ne işe yarar? \(x^{\alpha} \cdot e^{-x}\) ağırlığındaki üssü belirler. Standart Gauss-Laguerre için \(\alpha = 0\) kullanın. Ağırlığın integrallenebilir kalması için değerler \(\alpha > -1\) koşulunu sağlamalıdır.
Sonucum neden hatalı çıkıyor? Ya integrand düzgün değildir ya da (0, sonsuz) üzerinde yeterince hızlı sönmüyordur. Kural her zaman sonlu bir sayı döndürür, ancak yalnızca gerçek integral yakınsadığında ve integrand, polinomlar çarpı ağırlık ile iyi yaklaşıldığında anlamlıdır. Yakınsamayı sınamak için n'i artırın.
f ve g modları arasındaki fark nedir? f modunda yalnızca yerleşik ağırlıkla çarpılan çarpanı girersiniz; g modunda tüm integrandı girersiniz ve ağırlık toplamın içinde çıkarılır. Tutarlı kurulduğunda her ikisi de aynı sonucu verir.
