Cầu phương Gauss-Laguerre là gì?
Cầu phương Gauss-Laguerre là một phương pháp số dùng để xấp xỉ các tích phân suy rộng trên khoảng nửa vô hạn (0, vô cực), với hàm dưới dấu tích phân tắt dần theo dạng hàm mũ. Phương pháp này thay thế tích phân bằng một tổng có trọng số, được tính tại những điểm lấy mẫu được chọn cẩn thận gọi là các nút. Với một bậc n cho trước, quy tắc cho kết quả chính xác tuyệt đối với mọi đa thức có bậc đến \(2n-1\) (đối với hàm trọng số \(x^{\alpha} e^{-x}\)), nhờ đó nó đạt độ chính xác đáng kinh ngạc cho các hàm trơn mà chỉ cần một vài lần tính toán.
Cách sử dụng máy tính này
Trước hết, hãy chọn chế độ nhập. Chọn f(x) nếu tích phân của bạn đã có dạng tích phân của \(x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx\) và bạn chỉ muốn nhập phần thừa số f. Chọn g(x) nếu bạn có toàn bộ hàm dưới dấu tích phân \(g(x)\) trên (0, vô cực); khi đó công cụ sẽ tự động chia bớt hàm trọng số có sẵn. Nhập hàm theo biến x bằng ký hiệu chuẩn (+, -, *, /, ^, sqrt, exp, ln, sin, cos, tan, v.v.), đặt số nút n và đặt tham số trọng số alpha (dùng 0 cho Gauss-Laguerre thông thường). Tăng n sẽ cải thiện độ chính xác đối với các hàm trơn.
Giải thích công thức
Các nút \(x_i\) là nghiệm của đa thức Laguerre tổng quát \(L_n^{(\alpha)}(x)\), còn các trọng số \(w_i\) được tìm bằng thuật toán Golub-Welsch: các giá trị riêng của một ma trận Jacobi đối xứng ba đường chéo cho ta các nút, trong khi \(w_i = \Gamma(\alpha+1)\) nhân với bình phương của thành phần đầu tiên trong mỗi vector riêng đã chuẩn hóa. Tích phân sau đó được xấp xỉ bằng tổng có trọng số được trình bày ở trên.
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
Ví dụ minh họa
Lấy \(\alpha = 0\), \(n = 2\), chế độ f(x), \(f(x) = x^2\) (tức là ta ước lượng tích phân của \(x^2 e^{-x}\, dx\), có giá trị chính xác là \(\Gamma(3) = 2\)). Hai nút là \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0{,}585786\) với \(w_1 = 0{,}853553\), và \(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3{,}414214\) với \(w_2 = 0{,}146447\). Tổng là $$0{,}853553 \times 0{,}343146 + 0{,}146447 \times 11{,}656854 = 0{,}292893 + 1{,}707107 = 2{,}000000,$$ trùng khớp tuyệt đối với đáp án chính xác vì \(x^2\) là đa thức bậc \(2 \le 2n-1 = 3\).
Câu hỏi thường gặp
Tham số alpha có tác dụng gì? Nó xác định số mũ trong hàm trọng số \(x^{\alpha} e^{-x}\). Dùng \(\alpha = 0\) cho Gauss-Laguerre tiêu chuẩn. Giá trị phải thỏa mãn \(\alpha > -1\) để hàm trọng số vẫn khả tích.
Vì sao kết quả của tôi không chính xác? Có thể hàm dưới dấu tích phân không trơn, hoặc nó không tắt dần đủ nhanh trên (0, vô cực). Quy tắc luôn trả về một số hữu hạn, nhưng nó chỉ có ý nghĩa khi tích phân thực sự hội tụ và hàm được xấp xỉ tốt bởi đa thức nhân với hàm trọng số. Hãy tăng n để kiểm tra sự hội tụ.
Khác biệt giữa chế độ f và g là gì? Ở chế độ f, bạn chỉ cung cấp phần thừa số nhân với hàm trọng số có sẵn; ở chế độ g, bạn cung cấp toàn bộ hàm dưới dấu tích phân và hàm trọng số sẽ được loại bỏ bên trong tổng. Cả hai cho cùng một đáp án khi được thiết lập nhất quán.
