Cầu phương Gauss-Hermite là gì?
Cầu phương Gauss-Hermite là một phương pháp số dùng để xấp xỉ các tích phân trên toàn bộ trục số thực có chứa hàm trọng số Gauss \(e^{-x^2}\). Quy tắc n điểm xấp xỉ tích phân bằng một tổng có trọng số của hàm dưới dấu tích phân được tính tại n điểm được chọn rất kỹ lưỡng:
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$Các nút \(x_i\) chính là nghiệm của đa thức Hermite theo quy ước vật lý \(H_n\), còn các trọng số \(w_i\) được xác định nhờ tính trực giao của các đa thức này.
Cách dùng công cụ
Bạn hãy chọn bậc \(n\) (số điểm, từ 2 đến 100) cùng số chữ số hiển thị, rồi đọc bảng nút và trọng số tương ứng. Vì quá trình tính toán dùng độ chính xác kép (double precision) tiêu chuẩn, độ chính xác hiển thị bị giới hạn ở khoảng 15 chữ số có nghĩa - muốn nhiều hơn thế thì cần đến số học độ chính xác tùy ý để các chữ số dư mới thật sự có ý nghĩa. Quy tắc \(n\) điểm tích phân chính xác mọi đa thức có bậc tối đa \(2n-1\).
Giải thích công thức
Các nút là \(n\) nghiệm thực của \(H_n(x)\), được định nghĩa bằng hệ thức truy hồi \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). Trọng số là
$$w_i = \frac{2^{n-1} \cdot n! \cdot \sqrt{\pi}}{n^2 \cdot \big[H_{n-1}(x_i)\big]^2}$$Công cụ này áp dụng phương pháp Golub-Welsch ổn định: dựng ma trận Jacobi đối xứng ba đường chéo (đường chéo chính bằng 0, đường chéo phụ bằng \(\sqrt{k/2}\)), tìm các trị riêng (chính là các nút) cùng các vectơ riêng, rồi gán mỗi trọng số bằng \(\sqrt{\pi}\) nhân với bình phương thành phần đầu tiên của vectơ riêng chuẩn hóa tương ứng. Cách làm này tránh được hiện tượng tràn số do các giai thừa quá lớn.
Ví dụ minh họa (n = 2)
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) có nghiệm \(x = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475\). Mỗi trọng số bằng \(\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\). Với \(H_1(x)=2x\), ta có \([H_1]^2 = 2\), nên mỗi trọng số
$$= \frac{2 \cdot 2 \cdot 1.7724538509055160}{4 \cdot 2} = 0.8862269254527580$$Tổng của chúng là \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\), một phép tự kiểm tra rất hữu ích.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao tổng các trọng số luôn bằng \(\sqrt{\pi}\)? Khi lấy \(f(x)=1\), tích phân trở thành tích phân của \(e^{-x^2}\) trên trục thực, vốn bằng \(\sqrt{\pi}\); và quy tắc cầu phương tái tạo lại giá trị này một cách chính xác.
Đây là quy ước Hermite nào? Đây là quy ước vật lý với hàm trọng số \(e^{-x^2}\). Với quy ước xác suất dùng hàm trọng số \(e^{-x^2/2}\) thì các nút và trọng số sẽ khác đi do hệ số tỉ lệ.
Tôi có thể tích phân một hàm không có thừa số \(e^{-x^2}\) được không? Hoàn toàn được - bạn chỉ cần viết \(g(x) = e^{x^2}\,f(x)\), khi đó tích phân của \(g\) xấp xỉ bằng tổng của \(w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)\).
