Công cụ này làm gì
Máy tính nút và trọng số cầu phương Tanh-Sinh tạo ra các hoành độ (nút) \(x_i\) cùng các trọng số \(w_i\) tương ứng dùng cho quy tắc tích phân Tanh-Sinh, hay còn gọi là quy tắc lũy thừa kép (double-exponential, DE), trên khoảng chuẩn [-1, 1]. Khi đã có những cặp giá trị này, bạn có thể xấp xỉ bất kỳ tích phân xác định nào bằng một tổng có trọng số đơn giản: tích phân của \(f(x)\) trên [-1, 1] xấp xỉ bằng tổng của \(w_i\) nhân với \(f(x_i)\).
Phương pháp và công thức
Cầu phương Tanh-Sinh áp dụng phép đổi biến \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\), ánh xạ toàn bộ trục thực \(t\) lên khoảng mở (-1, 1). Hàm dưới dấu tích phân sau khi biến đổi suy giảm theo kiểu lũy thừa kép, nên quy tắc hình thang thông thường hội tụ nhanh đến kinh ngạc. Sau khi cắt bớt \(t\) về khoảng \([-t_a, t_a]\) và lấy mẫu \(n\) điểm cách đều với bước \(h = 2 t_a / (n - 1)\), mỗi điểm cho ta công thức:
$$x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)}$$trong đó \(t_i = -t_a + (i - 1) h\), nút \(x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\), và trọng số \(w_i\) bằng \(h \tfrac{\pi}{2}\cosh t_i\) chia cho bình phương của \(\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\).
Cách sử dụng
Chọn bậc \(n\) (số điểm lấy mẫu hình thang), chọn xem \(t_a\) được đặt tự động theo độ chính xác bạn yêu cầu hay nhập thủ công, rồi chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Ở chế độ tự động, nửa độ rộng là $$t_a = \mathrm{round}\!\left[\left(\text{số chữ số} + 1\right)^{0.46},\,1\right]$$ với 22 chữ số, công thức này cho giá trị mặc định \(t_a = 4.2\) như tài liệu nêu. Tùy chọn "Một nửa" tận dụng tính đối xứng \(x_{-i} = -x_i\), \(w_{-i} = w_i\) và chỉ trả về phần không âm; tùy chọn "Toàn bộ" liệt kê mọi nút từ gần -1 đến gần +1.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 3\), \(t_a = 4\) (nhập thủ công) và chọn "Toàn bộ": \(h = 8 / 2 = 4\). Ba giá trị \(t\) là -4, 0, 4. Tại \(t = 0\), \(x = \tanh(0) = 0\) và $$w = \tfrac{\pi}{2} h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853$$ Tại \(t = \pm 4\), đối số \(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) cực lớn nên \(x\) bão hòa về \(\pm 1\) và trọng số tràn xuống dưới, gần như bằng 0. Với \(n\) lớn hơn cùng một giá trị \(t_a\) phù hợp, tổng các trọng số sẽ xấp xỉ 2, đúng bằng tích phân của \(f = 1\) trên [-1, 1].
Câu hỏi thường gặp
Vì sao các trọng số ở hai đầu gần như bằng 0? Sự suy giảm lũy thừa kép khiến bình phương của \(\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) tràn số ở gần biên, nên các trọng số đó triệt tiêu - và đó chính là lý do quy tắc này chính xác đến vậy.
"Bậc \(n\)" ở đây nghĩa là gì? Đó là số điểm hình thang cách đều nhau trên khoảng \([-t_a, t_a]\); càng nhiều điểm cùng một \(t_a\) phù hợp thì độ chính xác càng cao.
Tôi có thể tính tích phân trên một khoảng tổng quát [a, b] không? Có - chỉ cần đổi tỉ lệ: thay \(x = \tfrac{b - a}{2} x_i + \tfrac{a + b}{2}\) và nhân mỗi trọng số với \(\tfrac{b - a}{2}\).
