Công cụ này làm gì
Công cụ này tính tích phân xác định của một hàm một biến \(f(x)\) trên khoảng hữu hạn \([a, b]\) bằng cầu phương Lũy thừa Kép (DE), hay còn gọi là phương pháp Tanh-Sinh. Cầu phương DE là một trong những phương pháp đa dụng đáng tin cậy nhất cho các khoảng hữu hạn, và đặc biệt nổi tiếng nhờ khả năng xử lý những hàm "bùng nổ" tại đầu mút — chẳng hạn \(1/\sqrt{x}\) hay \(\log(x)\) — những trường hợp mà quy tắc Gauss hay Simpson thông thường thường gặp khó khăn.
Cách sử dụng
Nhập biểu thức cần tích phân vào ô Hàm dưới dấu tích phân f(x) theo cú pháp toán học quen thuộc: + - * / ^, dấu ngoặc, cùng các hàm sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs và các hằng số pi và e. Nhập cận dưới \(a\) và cận trên \(b\), chọn số chữ số có nghĩa mong muốn, rồi bấm tính. Điểm kỳ dị chỉ được phép nằm tại hai đầu mút \(a\) và \(b\); ngoài ra hàm phải giải tích trên khoảng mở \((a, b)\) và không được tuần hoàn.
Giải thích công thức
Trước tiên, khoảng được ánh xạ về \([-1, 1]\) qua phép biến đổi \(x(u) = \frac{(b+a)+(b-a)u}{2}\). Tiếp theo, phép biến đổi DE \(u = \tanh\!\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)\) "kéo giãn" trục số sao cho khi \(t\) tăng, \(u\) tiến tới các đầu mút với tốc độ siêu lũy thừa, trong khi trọng số \(g'(t)\) cũng triệt tiêu về 0 với tốc độ tương đương. Vì các nút lưới không bao giờ rơi đúng vào \(a\) hay \(b\), điểm kỳ dị tại đầu mút không bao giờ thực sự bị tính đến — nó được "thuần hóa". Tích phân sau biến đổi được tính bằng quy tắc hình thang đơn giản với bước \(h\), và \(h\) được chia đôi liên tục cho đến khi kết quả không còn thay đổi.
$$\int_{\text{a}}^{\text{b}} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$$$\begin{gathered} \int_{\text{a}}^{\text{b}} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ví dụ minh họa
Với \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) trên \([0, 1]\), giá trị chính xác là \(\left[2\sqrt{x}\right]\) từ 0 đến 1 \(= 2\). Một lưới DE thô gồm 7 điểm (\(h = 0.5\)) đã cho khoảng \(1.94\); khi làm mịn \(h\), ước lượng tiến tới \(2.000000000000000\). Để kiểm chứng với hàm không có điểm kỳ dị, \(f(x) = x^2\) trên \([0, 1]\) cho kết quả \(1/3 = 0.3333333333333\).
Câu hỏi thường gặp
Có xử lý được điểm kỳ dị nằm bên trong khoảng không? Không — DE chỉ chấp nhận điểm kỳ dị ở hai đầu mút. Nếu có điểm kỳ dị bên trong tại \(c\), hãy tách tích phân thành \([a, c]\) và \([c, b]\) rồi cộng hai kết quả lại.
Vì sao phương pháp này kém với hàm tuần hoàn? Với các hàm tuần hoàn trơn, quy tắc hình thang thông thường vốn đã hội tụ theo cấp số mũ, nên phép đổi biến DE chỉ làm chậm quá trình lại.
Thiết lập số chữ số có tác dụng gì? Nó xác định sai số tương đối dùng để quyết định khi nào dừng làm mịn, đồng thời làm tròn giá trị hiển thị tương ứng.
