这个计算器能做什么
Tanh-Sinh 积分节点与权重计算器可以生成 Tanh-Sinh 法（又称双指数法，简称 DE 法）在标准区间 [-1, 1] 上所使用的节点 \(x_i\) 及其对应的权重 \(w_i\)。拿到这些「节点—权重」配对后，你就能把任意定积分近似写成一个简单的加权求和：f(x) 在 [-1, 1] 上的积分约等于各项 \(w_i\) 乘以 \(f(x_i)\) 的总和。
方法与公式
Tanh-Sinh 积分采用换元 \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)，将整条实轴 \(t\) 映射到开区间 (-1, 1)。换元后被积函数以双指数速度衰减，因此普通的梯形法收敛得快得惊人。把 \(t\) 截断到 \([-t_a, t_a]\)，再以步长 \(h = 2 t_a / (n - 1)\) 等距取 \(n\) 个采样点，每个点对应以下公式：
$$x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)}$$其中 \(t_i = -t_a + (i - 1) h\)，节点 \(x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\)，权重 \(w_i = h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i\) 除以 \(\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\)。
使用方法
先选定阶数 \(n\)（即梯形采样点的个数），再决定 \(t_a\) 是按你设定的精度自动计算还是手动输入，最后选择显示多少位有效数字。在自动模式下，半宽度为 $$t_a = \mathrm{round}\!\left[\left(\text{digits} + 1\right)^{0.46},\,1\right]$$当精度为 22 位时，得到的正是文档中的默认值 \(t_a = 4.2\)。「半区」选项利用对称性 \(x_{-i} = -x_i\)、\(w_{-i} = w_i\)，只返回非负的一侧；「全部」则列出从接近 -1 到接近 +1 的每一个节点。
实例演示
取 \(n = 3\)，手动设定 \(t_a = 4\)，并选择「全部」：此时 \(h = 8 / 2 = 4\)。三个 \(t\) 值分别为 \(-4\)、\(0\)、\(4\)。当 \(t = 0\) 时，\(x = \tanh(0) = 0\)，\(w = \tfrac{\pi}{2} h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853\)。当 \(t = \pm 4\) 时，\(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) 的数值极大，于是 \(x\) 饱和到 \(\pm 1\)，而权重下溢到几乎为 0。若取更大的 \(n\) 并搭配合适的 \(t_a\)，所有权重之和会趋近于 2——这正是 \(f = 1\) 在 [-1, 1] 上的精确积分值。
常见问题
为什么两端的权重几乎为零？双指数衰减使 \(\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) 在区间边缘急剧增大乃至溢出，于是这些权重趋于消失——而这恰恰是该方法如此精确的原因所在。
这里的「阶数 \(n\)」是什么意思？它指的是横跨 \([-t_a, t_a]\) 的等距梯形采样点的个数；点越多、\(t_a\) 越合适，精度就越高。
能在一般区间 [a, b] 上做积分吗？可以——只需做线性变换：令 \(x = \tfrac{b - a}{2} \times x_i + \tfrac{a + b}{2}\)，并将每个权重乘以 \(\tfrac{b - a}{2}\)。
