![有限区间 [a, b] 上的 Tanh-Sinh 求积计算器](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/thumb-flat-49552738d5/tanh-sinh-quadrature-calculator.png)
什么是 Tanh-Sinh 求积？
Tanh-Sinh 求积，又称双指数（DE）公式，是一种擅长计算有限区间 \([a, b]\) 上定积分的数值积分方法——尤其是当被积函数在端点处存在奇异性时表现突出。它通过变量替换 \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\)，把区间端点映射到 \(t = \pm\infty\)。在这些端点附近，被积函数的贡献会以双指数速度衰减，因此即便是在 \(a\) 或 \(b\) 处发散的函数（例如 \(\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)），也能被精确地积分出来。本工具属于通用数学方法，世界各地都适用。
使用方法
用标准记法输入你的函数 \(f(x)\)（运算符 + - * / ^、括号，以及 sin、cos、exp、log、sqrt、abs 等函数，还可使用常数 pi 和 e）。再填写积分下限 \(a\)、上限 \(b\)，以及控制节点密度的细分数 \(n\)。\(n\) 越大精度越高，但计算量也随之增加；常用的实际取值范围为 50～400。被积函数需在开区间内解析（端点处有奇异性没关系），且不能是周期函数。
公式解析
首先用 \(x = \tfrac{b-a}{2}u + \tfrac{a+b}{2}\)、\(dx = \tfrac{b-a}{2}\,du\) 把区间归一化到 \([-1, 1]\)。随后 DE 公式采用节点 \(t_k = k\,h\)、横坐标 \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\) 以及权重 \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^2\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\)。积分近似为 $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$ 当某个节点的权重下溢为零（即饱和端点）时会被跳过，从而避免在可能奇异的边界处求值。
实例演算
计算 \(f(x) = \exp(-x^2)\) 在 \([0, 1]\) 上的积分。精确值为 \(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0.7468241\)。即使步长较粗（\(h = 0.5\)，\(N = 4\)），该公式也能给出约 \(0.7467\)；而采用默认值 \(n = 100\) 时，结果可精确到大约十二位有效数字。
常见问题
可以对端点有奇异性的函数积分吗？ 可以——这正是该方法的核心优势。\(a\) 或 \(b\) 处的可积奇异性都能被妥善处理。
为什么周期性会有影响？ 双指数公式是为非周期被积函数量身设计的；对于周期函数，梯形公式收敛得更快，而 DE 公式可能并不准确。
如果 a 等于 b 会怎样？ 积分为零。如果 \(a > b\)，由于因子 \(\tfrac{b-a}{2}\) 携带符号，结果会被正确地取负。
