![Máy Tính Cầu Phương Tanh-Sinh trên Đoạn Hữu Hạn [a, b]](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/thumb-flat-49552738d5/tanh-sinh-quadrature-calculator.png)
Cầu phương Tanh-Sinh là gì?
Cầu phương Tanh-Sinh, hay còn gọi là quy tắc hàm mũ kép (Double Exponential - DE), là một phương pháp tích phân số đặc biệt hiệu quả khi tính tích phân xác định trên đoạn hữu hạn [a, b]—nhất là khi hàm dưới dấu tích phân có điểm kỳ dị ngay tại hai đầu mút. Phương pháp này sử dụng phép đổi biến \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\), đưa hai đầu mút về \(t = \pm\infty\). Ở lân cận các đầu mút đó, đóng góp của hàm số giảm với tốc độ hàm mũ kép, nên ngay cả những hàm phân kỳ tại \(a\) hoặc \(b\) (chẳng hạn \(1/\sqrt{1-x^2}\)) cũng được tính chính xác. Đây là công cụ toán học phổ quát, áp dụng được ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Nhập hàm \(f(x)\) theo ký hiệu chuẩn (các phép toán + - * / ^, dấu ngoặc, cùng các hàm như sin, cos, exp, log, sqrt, abs, và các hằng số pi và e). Cung cấp cận dưới \(a\), cận trên \(b\), và số khoảng chia \(n\) để điều chỉnh mật độ các điểm nút. Giá trị \(n\) càng lớn thì độ chính xác càng cao nhưng tốn nhiều tài nguyên tính toán hơn; khoảng 50–400 là mức thực tế thường dùng. Hàm dưới dấu tích phân phải giải tích trên khoảng mở (điểm kỳ dị tại đầu mút thì không sao) và không được tuần hoàn.
Giải thích công thức
Trước tiên, đoạn [a, b] được chuẩn hóa về [-1, 1] qua phép biến đổi \(x = \frac{b-a}{2}u + \frac{a+b}{2}\) với \(dx = \frac{b-a}{2}\,du\). Quy tắc DE sau đó dùng các điểm nút \(t_k = k h\), hoành độ \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\) và trọng số \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\).
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$Tích phân được xấp xỉ bằng \(\frac{b-a}{2} \cdot h \cdot\) tổng của \(w_k \cdot f(x(u_k))\). Những điểm nút có trọng số nhỏ đến mức tràn dưới về 0 (các đầu mút đã bão hòa) sẽ được bỏ qua, nhờ đó tránh việc tính giá trị ngay tại biên có khả năng kỳ dị.
Ví dụ minh họa
Tính tích phân của \(f(x) = \exp(-x^2)\) trên [0, 1]. Giá trị chính xác là $$\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}7468241.$$ Với bước thô (\(h = 0{,}5\), \(N = 4\)), quy tắc đã cho kết quả khoảng 0,7467; còn với giá trị mặc định \(n = 100\), kết quả khớp đến khoảng mười hai chữ số.
Câu hỏi thường gặp
Tôi có thể tính tích phân của hàm có điểm kỳ dị ở đầu mút không? Có—đây chính là thế mạnh lớn nhất của phương pháp. Những điểm kỳ dị khả tích tại \(a\) hoặc \(b\) đều được xử lý mượt mà.
Vì sao tính tuần hoàn lại quan trọng? Quy tắc hàm mũ kép được tối ưu cho các hàm không tuần hoàn; với hàm tuần hoàn, quy tắc hình thang hội tụ nhanh hơn và DE có thể cho kết quả thiếu chính xác.
Nếu a bằng b thì sao? Tích phân bằng 0. Nếu \(a > b\), kết quả sẽ tự động đổi dấu chính xác vì thừa số \(\frac{b-a}{2}\) đã mang dấu.
