यह कैलकुलेटर क्या करता है
Tanh-Sinh क्वाड्रेचर नोड्स और वेट्स कैलकुलेटर वे एब्सिस्सा (नोड्स) \(x_i\) और उनसे मेल खाते वेट्स \(w_i\) तैयार करता है, जिनका उपयोग मानक अंतराल [-1, 1] पर Tanh-Sinh या डबल-एक्सपोनेंशियल (DE) समाकलन विधि में किया जाता है। एक बार ये जोड़े मिल जाएँ, तो आप किसी भी निश्चित समाकल को एक सरल भारित योग के रूप में आसानी से अनुमानित कर सकते हैं: [-1, 1] पर \(f(x)\) का समाकल लगभग \(w_i\) गुणा \(f(x_i)\) के योग के बराबर होता है।
विधि और सूत्र
Tanh-Sinh क्वाड्रेचर में चर परिवर्तन \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) लगाया जाता है, जो पूरी वास्तविक रेखा \(t\) को खुले अंतराल (-1, 1) पर मैप कर देता है। रूपांतरित समाकल्य (integrand) डबल-एक्सपोनेंशियल दर से घटता है, इसलिए साधारण समलंब (trapezoidal) नियम हैरतअंगेज़ तेज़ी से अभिसरित होता है। \(t\) को \([-t_a, t_a]\) तक सीमित करने और चरण \(h = \frac{2\,t_a}{n - 1}\) के साथ \(n\) समान-दूरी बिंदुओं का नमूना लेने के बाद, प्रत्येक बिंदु से मिलता है
$$x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)}$$जहाँ \(t_i = -t_a + (i - 1) h\), नोड \(x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\), और वेट \(w_i = h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i\) भाग \(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\) का cosh-वर्ग।
इसका उपयोग कैसे करें
क्रम \(n\) चुनें (समलंब नमूना बिंदुओं की संख्या), तय करें कि \(t_a\) आपकी माँगी गई परिशुद्धता से अपने-आप सेट हो या आप इसे स्वयं दर्ज करें, और चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाए जाएँ। ऑटो मोड में अर्ध-चौड़ाई \(t_a = \mathrm{round}\!\left[(\text{digits} + 1)^{0.46},\,1\right]\) होती है; 22 अंकों के लिए यह प्रलेखित डिफ़ॉल्ट \(t_a = 4.2\) देती है। "Half" विकल्प सममिति \(x_{-i} = -x_i\), \(w_{-i} = w_i\) का लाभ उठाकर केवल गैर-ऋणात्मक हिस्सा लौटाता है; "All" विकल्प -1 के पास से +1 के पास तक हर नोड को सूचीबद्ध करता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(n = 3\), मैनुअल \(t_a = 4\), और "All" चुनने पर: \(h = 8 / 2 = 4\). तीन \(t\) मान हैं \(-4, 0, 4\). \(t = 0\) पर, \(x = \tanh(0) = 0\) और \(w = \tfrac{\pi}{2} h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853\). \(t = \pm 4\) पर तर्क \(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) बहुत बड़ा होता है, इसलिए \(x\) संतृप्त होकर \(\pm 1\) हो जाता है और वेट लगभग 0 तक घट जाता है। उपयुक्त \(t_a\) के साथ बड़े \(n\) से वेट्स का योग लगभग 2 हो जाता है, जो [-1, 1] पर \(f = 1\) का सटीक समाकल है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
सिरों पर वेट्स लगभग शून्य क्यों होते हैं? डबल-एक्सपोनेंशियल क्षय किनारों के पास \(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\) के cosh-वर्ग को इतना बड़ा (overflow) कर देता है कि वे वेट्स लुप्त हो जाते हैं - यही कारण है कि यह नियम इतना सटीक है।
यहाँ "क्रम \(n\)" का क्या अर्थ है? यह \([-t_a, t_a]\) में समान-दूरी समलंब बिंदुओं की संख्या है; अधिक बिंदु और उपयुक्त \(t_a\) सटीकता बढ़ाते हैं।
क्या मैं किसी सामान्य अंतराल [a, b] पर समाकलन कर सकता हूँ? हाँ - पुनः मापन करें: \(x = \frac{b - a}{2} x_i + \frac{a + b}{2}\) प्रतिस्थापित करें और प्रत्येक वेट को \(\frac{b - a}{2}\) से गुणा करें।
