यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल n-बिंदु सामान्यीकृत गॉस-लागुएर क्वाड्रेचर के लिए नोड्स (एब्सिसा) \(x_i\) और वेट्स \(w_i\) की गणना करता है। यह शुद्ध गणित का एक संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) टूल है जो हर जगह एक जैसा काम करता है। यह नियम अर्ध-अनंत अंतराल [0, ∞) पर उन समाकलनों का सन्निकटन (approximation) करता है जिनमें भार फलन (weight function) \(x^{\alpha}e^{-x}\) होता है:
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$नोड्स सामान्यीकृत लागुएर बहुपद \(L_n^{(\alpha)}(x)\) के धनात्मक मूल (zeros) होते हैं, और यह नियम तब पूर्णतः सटीक रहता है जब f अधिकतम \(2n-1\) घात का बहुपद हो।
इसका उपयोग कैसे करें
क्रम n (बिंदुओं की संख्या, 2 से 100) चुनें, घातांक पैरामीटर α दर्ज करें (−1 से बड़ी कोई भी वास्तविक संख्या; क्लासिक गॉस-लागुएर नियम में \(\alpha = 0\) होता है), और तय करें कि आप कितने सार्थक दर्शाए जाने वाले अंक (display digits) चाहते हैं। परिणाम में हर नोड और उससे जुड़ा वेट \(x_i\) के बढ़ते क्रम में दिखता है, साथ ही एक अंतर्निहित स्व-जाँच (self-check) भी।
सूत्र और विधि
हर वेट इस बंद सूत्र का पालन करता है: $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot\left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^{2}}$$ आंतरिक रूप से हम समतुल्य और संख्यात्मक रूप से स्थिर गोलब-वेल्श (Golub-Welsch) विधि का उपयोग करते हैं: विकर्ण \(a_k = 2k+\alpha+1\) और उप-विकर्णों \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\) वाला सममित त्रिविकर्णीय (tridiagonal) याकोबी मैट्रिक्स बनाएँ। इसके आइगेनमान (eigenvalues) ही नोड्स होते हैं, और हर वेट \(\mu_0\cdot(\text{पहले आइगेनवेक्टर घटक})^{2}\) के बराबर होता है, जहाँ \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) शून्यवाँ आघूर्ण (zeroth moment) है। यह बड़े क्रमगुणितों (factorials) से होने वाले ओवरफ़्लो से बचाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
n = 2, α = 0 के लिए: \(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\), अतः मूल हैं \(x = 2 \pm \sqrt{2}\), जिससे \(x_1 = 0.5857864\) और \(x_2 = 3.4142136\) मिलते हैं। वेट्स हैं $$w_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{4} = 0.8535534 \qquad w_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = 0.1464466$$ इनका योग \(1 = \Gamma(1)\) होता है, जो परिणाम की पुष्टि करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
α क्या करता है? यह भार \(x^{\alpha}\) तय करता है; \(\alpha = 0\) मानक गॉस-लागुएर देता है, जबकि \(\alpha > 0\) भार को मूल बिंदु (origin) से दूर अधिक महत्व देता है। यह −1 से बड़ा होना ज़रूरी है।
यह कितना सटीक है? n-बिंदु नियम \(2n-1\) घात तक के बहुपदों का पूर्णतः सटीक समाकलन करता है; चिकने (smooth) फलन तेज़ी से अभिसरित (converge) होते हैं।
आउटपुट की जाँच कैसे करूँ? सभी वेट्स का योग हमेशा \(\Gamma(\alpha+1)\) के बराबर होता है, जो शून्यवें आघूर्ण (zeroth moment) वाली पंक्ति में दिखाया जाता है।
