गॉस-लागुएरे क्वाड्रेचर क्या है?
गॉस-लागुएरे क्वाड्रेचर एक संख्यात्मक विधि है जिससे (0, अनंत) जैसे अर्ध-अनंत अंतराल पर ऐसे अनुचित समाकलनों (improper integrals) का अनुमान लगाया जाता है जिनका समाकल्य (integrand) चरघातांकी रूप से (exponential की तरह) घटता है। यह विधि समाकलन को कुछ खास तरह से चुने गए बिंदुओं — जिन्हें नोड (nodes) कहते हैं — पर मूल्यांकित किए गए भारित योग (weighted sum) से बदल देती है। चुनी हुई कोटि n के लिए यह नियम \(2n-1\) तक की घात वाले किसी भी बहुपद के लिए (भार \(x^{\alpha} e^{-x}\) के सापेक्ष) पूर्णतः सटीक होता है, जिससे यह सहज (smooth) समाकल्यों के लिए मात्र कुछ ही मूल्यांकनों में उल्लेखनीय रूप से सटीक परिणाम देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले इनपुट मोड चुनें। यदि आपका समाकलन पहले से ही \(\int x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx\) के रूप में है और आप केवल गुणक f टाइप करना चाहते हैं, तो f(x) चुनें। यदि आपके पास (0, अनंत) पर पूरा समाकल्य g(x) है, तो g(x) चुनें; ऐसी स्थिति में टूल अंतर्निहित भार (built-in weight) को स्वतः हटा देता है। फलन को चर x के रूप में मानक संकेतन (+, -, *, /, ^, sqrt, exp, ln, sin, cos, tan, आदि) में दर्ज करें, नोड्स की संख्या n सेट करें, और भार पैरामीटर alpha निर्धारित करें (सामान्य गॉस-लागुएरे के लिए 0 का उपयोग करें)। n बढ़ाने से सहज फलनों के लिए सटीकता बेहतर होती है।
सूत्र की व्याख्या
नोड्स \(x_i\), सामान्यीकृत लागुएरे बहुपद \(L_n^{(\alpha)}(x)\) के मूल (roots) हैं, और भार \(w_i\) को गोलब-वेल्श (Golub-Welsch) एल्गोरिथम से प्राप्त किया जाता है: एक सममित त्रिविकर्णीय (symmetric tridiagonal) जैकोबी मैट्रिक्स के आइगन-मान (eigenvalues) नोड्स देते हैं, जबकि \(w_i = \Gamma(\alpha+1)\) गुणा प्रत्येक सामान्यीकृत आइगन-सदिश (normalized eigenvector) के पहले घटक का वर्ग होता है। फिर समाकलन का अनुमान ऊपर दर्शाए गए भारित योग से लगाया जाता है:
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(\alpha = 0\), \(n = 2\), मोड f(x), \(f(x) = x^2\) (अर्थात हम \(\int x^2 e^{-x}\, dx\) का अनुमान लगा रहे हैं, जिसका सटीक मान \(\Gamma(3) = 2\) है)। दोनों नोड्स हैं \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0.585786\) जिसका \(w_1 = 0.853553\), और \(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3.414214\) जिसका \(w_2 = 0.146447\)। योग है $$0.853553 \times 0.343146 + 0.146447 \times 11.656854 = 0.292893 + 1.707107 = 2.000000,$$ जो सटीक उत्तर से बिल्कुल मेल खाता है क्योंकि \(x^2\) घात 2 का बहुपद है और \(2 \le 2n-1 = 3\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
पैरामीटर alpha का क्या काम है? यह भार \(x^{\alpha} e^{-x}\) में घातांक तय करता है। मानक गॉस-लागुएरे के लिए \(\alpha = 0\) का उपयोग करें। मान \(\alpha > -1\) होना ज़रूरी है ताकि भार समाकलनीय (integrable) बना रहे।
मेरा परिणाम सटीक क्यों नहीं है? या तो समाकल्य सहज नहीं है, या वह (0, अनंत) पर पर्याप्त तेज़ी से नहीं घटता। यह नियम हमेशा एक परिमित संख्या लौटाता है, लेकिन वह तभी सार्थक होती है जब वास्तविक समाकलन अभिसरित (converge) हो और समाकल्य को भार गुणा बहुपदों द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सके। अभिसरण जाँचने के लिए n बढ़ाएँ।
f और g मोड में क्या अंतर है? f मोड में आप केवल वह गुणक देते हैं जो अंतर्निहित भार से गुणा होता है; g मोड में आप पूरा समाकल्य देते हैं और योग के भीतर भार हटा दिया जाता है। दोनों को सही ढंग से सेट करने पर एक ही उत्तर मिलता है।
