यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी फलन \(g(x)\) के एक परिमित अंतराल \((a, b)\) पर निश्चित समाकलन (definite integral) का संख्यात्मक अनुमान गॉस-चेबीशेव द्वितीय-प्रकार (second kind) क्वाड्रेचर विधि से लगाता है। गॉसियन क्वाड्रेचर समाकल्य (integrand) को सोच-समझकर चुने गए कुछ ही बिंदुओं (नोड्स) पर मूल्यांकित करता है और उन्हें उपयुक्त भारों (weights) के साथ जोड़ता है, जिससे चिकने (smooth) फलनों के लिए बहुत कम मूल्यांकनों में ही उच्च परिशुद्धता मिल जाती है। यह विशुद्ध गणित है, इसलिए इसमें कोई इकाई (unit) नहीं होती और न ही किसी देश-विशेष का कोई नियम लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने समाकल्य को \(x\) के पद वाले व्यंजक के रूप में दर्ज करें (उदाहरण के लिए sqrt(1-x^2), exp(x), 1/(1+x^2) या sin(x))। समर्थित फलनों में sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln/log, sqrt, abs, ^ के साथ घात (powers), तथा अचर pi और e शामिल हैं। इसके बाद निचली सीमा \(a\), ऊपरी सीमा \(b\), और नोड्स की संख्या \(n\) तय करें। चिकने समाकल्यों के लिए सामान्यतः \(n\) जितना बड़ा होगा, परिशुद्धता उतनी ही बेहतर होगी; बिना-भार वाले (unweighted) फलनों के लिए 30 से 60 तक के मान अच्छा काम करते हैं।
सूत्र की व्याख्या
द्वितीय-प्रकार का नियम \([-1, 1]\) पर भार \(\sqrt{1 - x^2}\) के साथ बनी मूल सर्वसमिका पर आधारित है। इसके बंद-रूप (closed-form) नोड्स \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) हैं और भार \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^2\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) हैं। किसी सामान्य अंतराल पर बिना-भार वाले \(g\) का समाकलन करने के लिए हम \([-1,1]\) को \([a,b]\) पर प्रतिचित्रित (map) करते हैं (जैकोबियन \(\frac{b-a}{2}\)) और \(\sqrt{1 - x_i^2}\) से भाग देते हैं। यह भाग बीजगणितीय रूप से कट जाता है, और प्रभावी भार \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) बच जाता है। अंतिम व्यावहारिक सूत्र है:
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n} \sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) f(x_i)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ f(x) &= \frac{g(x)}{\sqrt{1-t_i^{2}}},\quad t_i=\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ n &= \text{Nodes} \end{aligned} \right.$$समाकलन \(\approx\) \(\frac{b-a}{2}\cdot W_i\cdot g(\text{node}_i)\) का योग।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) है, अंतराल \((-1, 1)\) पर और \(n = 4\) के साथ। इसका सटीक मान एक इकाई अर्ध-वृत्त (unit half-disk) का क्षेत्रफल है, यानी \(\frac{\pi}{2} \approx 1.5707963\)। चारों योगदानों का योग लगभग \(1.5708358\) आता है — केवल चार नोड्स के साथ ही वास्तविक मान से चार दशमलव स्थानों तक मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि \(a = b\) हो तो क्या होगा? अंतराल की चौड़ाई शून्य हो जाती है, इसलिए परिणाम ठीक 0 आएगा।
यदि \(b\), \(a\) से छोटा हो तो? नियम फिर भी काम करता है और चिह्न-सहित (signed) मान लौटाता है, क्योंकि \(a\) से \(b\) तक का समाकलन, \(b\) से \(a\) तक के समाकलन का ऋणात्मक होता है।
मुझे "किसी नोड पर अपरिभाषित" (undefined at a node) संदेश क्यों मिल सकता है? यदि \(g\) किसी क्वाड्रेचर नोड पर NaN या अनंत (infinity) उत्पन्न करता है (जैसे ऋणात्मक संख्या का ln लेना या शून्य से भाग देना), तो परिणाम की गणना नहीं हो सकती; ऐसे में फलन या अंतराल को समायोजित करें।
