यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल क्लासिकल गॉसियन क्वाड्रेचर नियमों के नोड्स (एब्सिसा \(x_i\)) और वेट्स \(w_i\) की गणना करता है। इनकी मदद से आप किसी भारित इंटीग्रल को एक परिमित भारित योग के रूप में अनुमानित कर सकते हैं, और मानक गॉस नियमों के लिए \(2n-1\) घात तक के बहुपदों का इंटीग्रल बिल्कुल सटीक निकलता है। समर्थित नियम हैं: गॉस-लीजेंड्र, पहली और दूसरी श्रेणी का चेबीशेव, सामान्यीकृत लागुएर, हर्मिट, जैकोबी, और गॉस-लोबाटो।
इसका उपयोग कैसे करें
"Kinds" में से कोई नियम चुनें, क्रम \(n\) तय करें (नोड्स की संख्या, 2 से 100 तक), और लागुएर या जैकोबी के लिए घातांक पैरामीटर Alpha और Beta दें (दोनों -1 से बड़े होने चाहिए)। परिणाम में हर नोड और उसका वेट दिखता है, साथ ही वेट्स का योग भी — जो भार फलन के 0वें आघूर्ण (0th moment) के बराबर होना चाहिए (लीजेंड्र के लिए यह 2 है, और हर्मिट के लिए यह \(\pi\) का वर्गमूल है)।
सूत्र की व्याख्या
तीन-पद पुनरावृत्ति (three-term recurrence) वाले ऑर्थोगोनल बहुपदों के किसी कुल के लिए, नोड्स \(n\) घात के बहुपद के मूल होते हैं और वेट्स सममित त्रिविकर्णीय जैकोबी आव्यूह \(J\) के आइगेनवेक्टरों से प्राप्त होते हैं (गोलूब-वेल्श विधि): \(w_i = \mu_0 (v_{1,i})^2\)। चेबीशेव नियम सटीक त्रिकोणमितीय बंद-रूप (closed form) सूत्रों का उपयोग करते हैं, लीजेंड्र और लोबाटो लीजेंड्र बहुपद पर न्यूटन पुनरावृत्ति लगाते हैं, जबकि लागुएर, हर्मिट और जैकोबी जैकोबी-आव्यूह आइगेनसॉल्वर का प्रयोग करते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\(n = 2\) के साथ गॉस-लीजेंड्र: नोड्स धन और ऋण \(\frac{1}{\sqrt{3}} = 0.5773502692\) हैं, और दोनों वेट्स 1 के बराबर हैं, अतः वेट्स का योग 2 है। जाँच: \([-1, 1]\) पर \(x^2\) का इंटीग्रल \(\frac{2}{3}\) होता है, और यह नियम देता है $$1 \cdot \tfrac{1}{3} + 1 \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.$$
![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
वेट्स धनात्मक क्यों होने चाहिए? क्लासिकल गॉस नियमों में सभी वेट्स पूर्णतः धनात्मक होते हैं; कोई ऋणात्मक वेट संख्यात्मक त्रुटि (numerical error) का संकेत है।
वेट्स के योग का क्या अर्थ है? यह अंतराल पर भार फलन के इंटीग्रल (0वें आघूर्ण) के बराबर होता है। हर्मिट के लिए, पूरी संख्या रेखा पर \(e^{-x^2}\) का इंटीग्रल \(\sqrt{\pi}\) होता है।
Alpha और Beta -1 से बड़े क्यों होने चाहिए? अन्यथा भार फलन इंटीग्रेबल नहीं रहता और आघूर्ण अपसरित (diverge) हो जाते हैं, इसलिए कोई वैध नियम संभव नहीं होता।
