गॉस-लीजेंड्र क्वाड्रेचर नोड्स और वेट्स कैलकुलेटर

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ऑर्डर n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

प्रदर्शित अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

परिणाम

20-Point Gauss-Legendre Rule on [-1, 1]

2

वेट्स का योग (2 होना चाहिए)

i	नोड x_i	वेट w_i
1	-0.993128599185095	0.017614007139152
2	-0.963971927277914	0.040601429800387
3	-0.912234428251326	0.062672048334109
4	-0.839116971822219	0.083276741576705
5	-0.746331906460151	0.10193011981724
6	-0.636053680726515	0.118194531961518
7	-0.510867001950827	0.131688638449176
8	-0.37370608871542	0.142096109318382
9	-0.227785851141645	0.149172986472604
10	-0.076526521133497	0.152753387130726
11	0.076526521133497	0.152753387130726
12	0.227785851141645	0.149172986472604
13	0.37370608871542	0.142096109318382
14	0.510867001950827	0.131688638449176
15	0.636053680726515	0.118194531961518
16	0.746331906460151	0.10193011981724
17	0.839116971822219	0.083276741576705
18	0.912234428251326	0.062672048334109
19	0.963971927277914	0.040601429800387
20	0.993128599185095	0.017614007139152

गॉस-लीजेंड्र क्वाड्रेचर कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल संदर्भ अंतराल [-1, 1] पर n-बिंदु गॉस-लीजेंड्र क्वाड्रेचर नियम के नोड्स (एब्सिसा) और वेट्स की गणना करता है। गॉस-लीजेंड्र क्वाड्रेचर एक संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) विधि है जो किसी निश्चित समाकल को फलन मानों के भारित योग के रूप में सन्निकट करती है: -1 से 1 तक f(x) का समाकल लगभग i पर w_i गुणा f(x_i) के योग के बराबर होता है। केवल n बिंदुओं के साथ यह 2n-1 घात तक के किसी भी बहुपद का सटीक समाकलन करता है, जिससे यह ट्रैपीज़ॉइडल या सिम्पसन जैसी समान-दूरी वाली विधियों की तुलना में कहीं अधिक सटीक हो जाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

ऑर्डर n (बिंदुओं की संख्या, 2 से 100) चुनें और चाहें तो प्रदर्शित किए जाने वाले सार्थक अंकों (significant digits) की संख्या भी चुनें। कैलकुलेटर n पंक्तियों की एक तालिका लौटाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में एक नोड \(x_i\) और उसका वेट \(w_i\) होता है। नोड्स 0 के परितः सममित होते हैं और सभी पूरी तरह (-1, 1) के भीतर स्थित होते हैं; वेट्स सभी धनात्मक होते हैं और इनका योग ठीक 2 होता है, जो अंतराल की लंबाई है। किसी मनमाने अंतराल [a, b] पर समाकलन करने के लिए, प्रत्येक नोड को \(t_i = \frac{b-a}{2} x_i + \frac{a+b}{2}\) से मैप करें और प्रत्येक वेट को \(\frac{b-a}{2}\) से गुणा करें।

सूत्र की व्याख्या

नोड्स, लीजेंड्र बहुपद \(P_n(x)\) के n मूल (roots) होते हैं, जिन्हें बोनेट की पुनरावृत्ति (Bonnet's recurrence) से बनाया जाता है: \(P_0=1\), \(P_1=x\), और

$$P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}$$

प्रत्येक वेट

$$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}}$$

होता है, जहाँ अवकलज

$$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\left(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x)\right)}{x^2 - 1}$$

है। मूल न्यूटन विधि से ज्ञात किए जाते हैं, जिसका प्रारंभिक अनुमान \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\) है, और यह कुछ ही पुनरावृत्तियों में अभिसरित हो जाता है।

गाउस-लेजेंड्र क्वाड्रेचर समाकल को विशेष रूप से चुने गए नोड्स पर फलन मानों के भारित योग के रूप में सन्निकट करता है।

हल किया गया उदाहरण (n = 3)

\(P_3\) के मूल \(x = 0\) और \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\) हैं। \(x = 0\) पर वेट \(\frac{8}{9} = 0.888888889\) है, और प्रत्येक \(x = \pm 0.7745966692\) पर वेट \(\frac{5}{9} = 0.555555556\) है। वेट्स का योग

$$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2$$

होता है, और यह 3-बिंदु नियम 5 घात तक के बहुपदों का सटीक समाकलन करता है।

3-बिंदु नियम एक केंद्रीय नोड और दो सममित बाहरी नोड्स का उपयोग करता है, जिसमें केंद्रीय नोड को सबसे बड़ा भार दिया जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

वेट्स का योग 2 ही क्यों होता है? [-1, 1] पर स्थिर फलन \(f(x) = 1\) का समाकलन 2 देता है, और क्वाड्रेचर को स्थिरांकों का सटीक पुनरुत्पादन करना होता है, इसलिए वेट्स का कुल योग अंतराल की लंबाई के बराबर होना चाहिए।

मान कितने सटीक होते हैं? यह एक डबल-प्रिसिजन पुनर्निर्माण है जो लगभग 15 सार्थक अंक देता है। अधिक अंक माँगने वाले प्रदर्शन विकल्प उतने तक पूर्णांकित किए जाते हैं जितना डबल प्रिसिजन निरूपित कर सकता है।

सटीक रूप से समाकलित अधिकतम घात कितनी है? एक n-बिंदु नियम \(2n-1\) घात तक के सभी बहुपदों के लिए सटीक होता है।