गॉस-लीजेंड्र क्वाड्रेचर कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल संदर्भ अंतराल [-1, 1] पर n-बिंदु गॉस-लीजेंड्र क्वाड्रेचर नियम के नोड्स (एब्सिसा) और वेट्स की गणना करता है। गॉस-लीजेंड्र क्वाड्रेचर एक संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) विधि है जो किसी निश्चित समाकल को फलन मानों के भारित योग के रूप में सन्निकट करती है: -1 से 1 तक f(x) का समाकल लगभग i पर w_i गुणा f(x_i) के योग के बराबर होता है। केवल n बिंदुओं के साथ यह 2n-1 घात तक के किसी भी बहुपद का सटीक समाकलन करता है, जिससे यह ट्रैपीज़ॉइडल या सिम्पसन जैसी समान-दूरी वाली विधियों की तुलना में कहीं अधिक सटीक हो जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ऑर्डर n (बिंदुओं की संख्या, 2 से 100) चुनें और चाहें तो प्रदर्शित किए जाने वाले सार्थक अंकों (significant digits) की संख्या भी चुनें। कैलकुलेटर n पंक्तियों की एक तालिका लौटाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में एक नोड \(x_i\) और उसका वेट \(w_i\) होता है। नोड्स 0 के परितः सममित होते हैं और सभी पूरी तरह (-1, 1) के भीतर स्थित होते हैं; वेट्स सभी धनात्मक होते हैं और इनका योग ठीक 2 होता है, जो अंतराल की लंबाई है। किसी मनमाने अंतराल [a, b] पर समाकलन करने के लिए, प्रत्येक नोड को \(t_i = \frac{b-a}{2} x_i + \frac{a+b}{2}\) से मैप करें और प्रत्येक वेट को \(\frac{b-a}{2}\) से गुणा करें।
सूत्र की व्याख्या
नोड्स, लीजेंड्र बहुपद \(P_n(x)\) के n मूल (roots) होते हैं, जिन्हें बोनेट की पुनरावृत्ति (Bonnet's recurrence) से बनाया जाता है: \(P_0=1\), \(P_1=x\), और
$$P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}$$प्रत्येक वेट
$$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}}$$होता है, जहाँ अवकलज
$$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\left(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x)\right)}{x^2 - 1}$$है। मूल न्यूटन विधि से ज्ञात किए जाते हैं, जिसका प्रारंभिक अनुमान \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\) है, और यह कुछ ही पुनरावृत्तियों में अभिसरित हो जाता है।
![[-1,1] पर एक चिकना फलन कई असमान सममित नोड्स पर भारित योगदान के साथ नमूना लिया गया](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-1-6a54317456/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
हल किया गया उदाहरण (n = 3)
\(P_3\) के मूल \(x = 0\) और \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\) हैं। \(x = 0\) पर वेट \(\frac{8}{9} = 0.888888889\) है, और प्रत्येक \(x = \pm 0.7745966692\) पर वेट \(\frac{5}{9} = 0.555555556\) है। वेट्स का योग
$$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2$$होता है, और यह 3-बिंदु नियम 5 घात तक के बहुपदों का सटीक समाकलन करता है।
![[-1,1] पर तीन सममित गाउस-लेजेंड्र नोड्स, जिनमें केंद्रीय नोड का भार अधिक है](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-a8fd6492e0/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
वेट्स का योग 2 ही क्यों होता है? [-1, 1] पर स्थिर फलन \(f(x) = 1\) का समाकलन 2 देता है, और क्वाड्रेचर को स्थिरांकों का सटीक पुनरुत्पादन करना होता है, इसलिए वेट्स का कुल योग अंतराल की लंबाई के बराबर होना चाहिए।
मान कितने सटीक होते हैं? यह एक डबल-प्रिसिजन पुनर्निर्माण है जो लगभग 15 सार्थक अंक देता है। अधिक अंक माँगने वाले प्रदर्शन विकल्प उतने तक पूर्णांकित किए जाते हैं जितना डबल प्रिसिजन निरूपित कर सकता है।
सटीक रूप से समाकलित अधिकतम घात कितनी है? एक n-बिंदु नियम \(2n-1\) घात तक के सभी बहुपदों के लिए सटीक होता है।
