가우스-르장드르 구적법 노드·가중치 계산기

계산 입력

차수 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

표시 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

20-Point Gauss-Legendre Rule on [-1, 1]

2

가중치 합 (2가 되어야 함)

i	노드 xᵢ	가중치 wᵢ
1	-0.993128599185095	0.017614007139152
2	-0.963971927277914	0.040601429800387
3	-0.912234428251326	0.062672048334109
4	-0.839116971822219	0.083276741576705
5	-0.746331906460151	0.10193011981724
6	-0.636053680726515	0.118194531961518
7	-0.510867001950827	0.131688638449176
8	-0.37370608871542	0.142096109318382
9	-0.227785851141645	0.149172986472604
10	-0.076526521133497	0.152753387130726
11	0.076526521133497	0.152753387130726
12	0.227785851141645	0.149172986472604
13	0.37370608871542	0.142096109318382
14	0.510867001950827	0.131688638449176
15	0.636053680726515	0.118194531961518
16	0.746331906460151	0.10193011981724
17	0.839116971822219	0.083276741576705
18	0.912234428251326	0.062672048334109
19	0.963971927277914	0.040601429800387
20	0.993128599185095	0.017614007139152

가우스-르장드르 구적법 계산기란?

이 도구는 기준 구간 [-1, 1]에서 n점 가우스-르장드르 구적법의 노드(분점)와 가중치를 계산합니다. 가우스-르장드르 구적법은 정적분을 함수값의 가중합으로 근사하는 수치 적분 기법으로, -1부터 1까지의 \(\int f(x)\,dx\) 값을 \(\sum w_i\, f(x_i)\) 형태로 나타냅니다. 단 n개의 점만으로 차수가 2n-1 이하인 모든 다항식을 정확하게 적분하므로, 사다리꼴 공식이나 심프슨 공식처럼 등간격 점을 쓰는 방법보다 훨씬 정밀합니다.

사용 방법

먼저 차수 n(점의 개수, 2~100)을 선택하고, 필요하면 표시할 유효숫자 자릿수도 지정합니다. 계산기는 n개의 행으로 이루어진 표를 출력하며, 각 행에는 노드 \(x_i\)와 그에 대응하는 가중치 \(w_i\)가 들어 있습니다. 노드는 0을 기준으로 대칭이며 모두 개구간 (-1, 1) 내부에 위치합니다. 가중치는 모두 양수이고 그 합은 구간 길이와 같은 정확히 2가 됩니다. 임의의 구간 [a, b]에서 적분하려면 각 노드를 \(t_i = \frac{b-a}{2}\cdot x_i + \frac{a+b}{2}\) 로 변환하고, 각 가중치에 \(\frac{b-a}{2}\) 를 곱하면 됩니다.

공식 풀이

노드는 르장드르 다항식 \(P_n(x)\)의 n개 근으로, 보네(Bonnet) 점화식으로 구성됩니다: \(P_0 = 1\), \(P_1 = x\), 그리고

$$P_k = \frac{(2k-1)\cdot x\cdot P_{k-1} - (k-1)\cdot P_{k-2}}{k}$$

입니다. 각 가중치는

$$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}}$$

로 주어지며, 여기서 도함수는

$$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\cdot\left(x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x)\right)}{x^{2} - 1}$$

입니다. 근은 \(x = \cos\!\left(\frac{\pi(i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\) 를 초기값으로 한 뉴턴 법으로 찾으며, 몇 번의 반복만에 수렴합니다.

광고

가우스-르장드르 구적법은 특별히 선택된 절점에서의 함수값을 가중합으로 더해 적분을 근사합니다.

계산 예시 (n = 3)

\(P_3\)의 근은 \(x = 0\) 과 \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\) 입니다. \(x = 0\) 에서의 가중치는 \(8/9 = 0.888888889\) 이고, \(x = \pm 0.7745966692\) 각각의 가중치는 \(5/9 = 0.555555556\) 입니다. 가중치 합은 $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2$$ 이며, 이 3점 공식은 차수 5 이하의 다항식을 정확하게 적분합니다.

3점 공식은 하나의 중앙 절점과 대칭인 두 개의 외측 절점을 사용하며, 중앙 절점에 가장 큰 가중치를 부여합니다.

자주 묻는 질문

가중치의 합이 왜 2인가요? 상수 함수 \(f(x) = 1\) 을 [-1, 1]에서 적분하면 2가 되고, 구적법은 상수를 정확히 재현해야 하므로 가중치의 총합은 구간 길이와 같아야 합니다.

값은 얼마나 정확한가요? 이 계산기는 배정밀도(double precision)로 구현되어 약 15자리의 유효숫자를 제공합니다. 그보다 많은 자릿수를 요청하면 배정밀도가 표현할 수 있는 범위로 반올림됩니다.

정확하게 적분되는 최대 차수는 얼마인가요? n점 공식은 차수가 2n-1 이하인 모든 다항식에 대해 정확합니다.