가우스-르장드르 구적법이란?
가우스-르장드르 구적법은 정적분 값을 추정하는 수치 해석 기법입니다. 구간을 여러 개의 같은 폭으로 잘게 나누는 대신, 정교하게 선택한 소수의 점(이른바 노드)에서만 피적분함수를 계산하고, 세심하게 조정된 가중치와 결합합니다. 그 결과는 놀라울 만큼 정확합니다. n점 가우스-르장드르 공식은 차수가 \(2n - 1\) 이하인 임의의 다항식을 정확히 적분하며, 매끄러운 함수에 대해서는 사다리꼴 공식이나 심프슨 공식보다 훨씬 적은 계산만으로도 우수한 결과를 줍니다.
계산기 사용법
피적분함수를 x에 대한 식으로 입력하세요(예: 4/(1+x^2), sin(x)*exp(-x), sqrt(1-x^2)). 하한 a와 상한 b를 설정한 뒤, 점의 개수 n을 2부터 64까지 중에서 선택하면 됩니다. n이 클수록 매끄러운 피적분함수에 대해 더 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 사용 가능한 연산자는 + - * / ^이며, 지원되는 함수로는 sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt, abs가 있고 상수 pi와 e도 사용할 수 있습니다.
공식 풀이
고전적인 공식은 구간 [-1, 1]에서 정의됩니다. 즉 적분값을 르장드르 근 \(x_i\)에서의 f 값에 가중치를 곱해 합한 형태로 근사합니다.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$일반적인 구간 [a, b]를 다루려면 선형 변수 변환을 통해 [-1, 1]의 t를 \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}\)로 대응시키며, 이때 \(dx = \frac{b-a}{2}\,dt\)가 됩니다. 이 계산기는 르장드르 다항식의 점화식에 뉴턴법을 적용해 노드를 실시간으로 계산하므로 별도의 조견표(룩업 테이블)가 필요 없습니다.
예제 풀이
\(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}\)를 [0, 1]에서 적분하면 정확한 값은 \(\pi\)입니다. \(n = 2\)일 때 노드는 \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)이고 가중치는 각각 1과 1입니다. 이를 [0, 1] 구간으로 대응시켜 계산하면 \(f(0.2113) = 3.8290\), \(f(0.7887) = 2.4661\)이 되고, 그 합에 스케일 0.5를 곱하면 약 3.1476이 나옵니다. 단 두 번의 계산만으로 이미 \(\pi\)에 상당히 가까운 값을 얻은 셈입니다. \(n = 20\)이면 결과는 약 3.14159265359까지 \(\pi\)와 일치합니다.
자주 묻는 질문
a = b이면 어떻게 되나요? 구간의 폭이 0이므로 적분값은 정확히 0입니다.
b가 a보다 작아도 되나요? 됩니다. 적분 상하한을 뒤바꾸면 적분값의 부호가 반대가 된다는 규약에 따라, 부호가 반영된 결과를 반환합니다.
결과가 이상해 보이는 이유는 무엇인가요? 가우스-르장드르 구적법은 모든 노드에서 피적분함수가 유한하다고 가정합니다. 구간 내부에 특이점(0으로 나누거나 음수에 로그를 취하는 경우 등)이 있으면 무의미한 값이 나올 수 있습니다. 이 계산기는 어떤 노드에서 NaN이나 무한대가 발생하면 경고를 표시합니다. 참고로 양 끝점 a와 b 자체는 절대 계산에 사용되지 않으므로, 끝점에서의 가벼운 거동을 다루는 데 도움이 됩니다.
