¿Qué es la cuadratura de Gauss-Legendre?
La cuadratura de Gauss-Legendre es un método numérico para estimar una integral definida. En lugar de dividir el intervalo en muchas franjas iguales, evalúa el integrando en un número reducido de puntos elegidos con gran astucia (los nodos) y los combina mediante pesos cuidadosamente calibrados. El resultado es una precisión notable: una regla de Gauss-Legendre de n puntos integra de forma exacta cualquier polinomio de grado hasta \(2n - 1\) y ofrece resultados excelentes para funciones suaves con muchas menos evaluaciones que las reglas del trapecio o de Simpson.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el integrando como una expresión en x (por ejemplo 4/(1+x^2), sin(x)*exp(-x) o sqrt(1-x^2)). Fija el límite inferior a y el límite superior b, y luego elige el número de puntos n entre 2 y 64. Cuanto mayor sea n, más precisión obtendrás con integrandos suaves. Los operadores admitidos son + - * / ^; entre las funciones disponibles están sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt y abs, además de las constantes pi y e.
La fórmula explicada
La regla clásica se define en el intervalo [-1, 1]: la integral se aproxima mediante la suma ponderada de f en las raíces de Legendre \(x_i\). Para trabajar con un intervalo general [a, b], un cambio de variable lineal transforma t en [-1, 1] en \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}\), con \(dx = \frac{b-a}{2}\,dt\). Esta calculadora calcula los nodos al vuelo aplicando el método de Newton a la recurrencia del polinomio de Legendre, por lo que no hace falta ninguna tabla de consulta.
$$\int_{\text{a}}^{\text{b}} \text{f}(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{\text{n}} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}\) en [0, 1], cuya integral exacta es \(\pi\). Con \(n = 2\) los nodos son \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\) con pesos 1 y 1. Al mapearlos al intervalo [0, 1] y evaluar se obtiene \(f(0{,}2113) = 3{,}8290\) y \(f(0{,}7887) = 2{,}4661\); la suma multiplicada por la escala 0,5 da unos 3,1476: ¡ya muy cerca de \(\pi\) con solo dos evaluaciones! Con \(n = 20\) el resultado coincide con \(\pi\) hasta aproximadamente 3,14159265359.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si a = b? El intervalo tiene ancho cero, así que la integral vale exactamente 0.
¿Puede b ser menor que a? Sí. La regla devuelve el resultado con signo, de acuerdo con el convenio de que invertir los límites cambia el signo de la integral.
¿Por qué a veces el resultado parece erróneo? Gauss-Legendre supone que el integrando es finito en cada nodo. Una singularidad en el interior (una división entre cero o el logaritmo de un número negativo) puede producir un valor sin sentido; la calculadora te avisa cuando un nodo genera NaN o infinito. Ten en cuenta que los extremos a y b nunca se evalúan, lo que ayuda con comportamientos suaves en los bordes.
