¿Qué es la calculadora de cuadratura gaussiana?
Es una herramienta de matemática pura (funciona exactamente igual en cualquier país) que aproxima numéricamente una integral definida mediante la regla de cuadratura gaussiana que elijas. La cuadratura gaussiana evalúa el integrando en un pequeño conjunto de puntos elegidos con astucia, llamados nodos, multiplica cada valor por un peso correspondiente y los suma. Con \(n\) puntos integra de forma exacta polinomios de hasta grado \(2n-1\), lo que la hace mucho más precisa que los métodos de puntos equiespaciados —como la regla del trapecio o la de Simpson— cuando la función es suave.
Cómo usarla
Elige un método de cuadratura, fija el número de puntos \(n\), escribe el integrando \(f(x)\) con la sintaxis habitual (+ - * / ^, paréntesis, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e) y, en las reglas finitas, indica los límites \(a\) y \(b\). La función de peso \(w(x)\) ya está incorporada en cada regla, así que introduce solo la parte suave \(f(x)\): en Gauss-Laguerre omite el factor \(x^{\alpha} e^{-x}\), en Gauss-Hermite omite \(e^{-x^2}\), y en Chebyshev/Jacobi omite el peso \((1-x^2)\). El menú de cifras significativas solo cambia cuántos dígitos se muestran.
La fórmula
Todas las reglas tienen la misma forma: la integral de \(w(x) f(x)\) sobre el intervalo canónico se aproxima por la suma de \(w_i\) por \(f(x_i)\), donde los nodos \(x_i\) son las raíces del polinomio ortogonal correspondiente y los \(w_i\) son los pesos de Golub-Welsch. Para un intervalo finito arbitrario \([a,b]\) con peso 1, los nodos canónicos \(t_i\) en \([-1,1]\) se transforman mediante $$x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}$$ y toda la suma se escala por \(\frac{b-a}{2}\).
Ejemplo resuelto
Elige Gauss-Legendre, \(n=20\), \(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\), \(a=0\), \(b=1\). El valor exacto es \(4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979\). La regla de Legendre con 20 puntos transforma los nodos a \([0,1]\), escala los pesos por \(\frac{1}{2}\) y devuelve \(3.141592653589793\), que coincide con \(\pi\) en toda la precisión doble. Por eso \(\frac{4}{1+x^2}\) es el integrando predeterminado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi resultado parece incorrecto con Laguerre o Hermite? Esas reglas ya incluyen el peso \(e^{-x}\) o \(e^{-x^2}\); introduce solo el factor restante, no el integrando completo. Por ejemplo, para obtener la integral de \(e^{-x^2}\) sobre toda la recta, pon \(f(x)=1\), lo que da \(\sqrt{\pi}\).
¿Qué hacen \(\alpha\) y \(\beta\)? \(\alpha\) es el exponente del peso de Laguerre \(x^{\alpha}\) y uno de los exponentes de Jacobi; \(\beta\) es el otro exponente de Jacobi. Ambos deben ser mayores que \(-1\), o la integral del peso diverge.
¿Más puntos siempre ayudan? En funciones suaves, un \(n\) mayor mejora la precisión, pero en funciones con singularidades o picos pronunciados dentro del intervalo puede empeorarla. Aumenta \(n\) de forma gradual y vigila la convergencia.
