أدخل الحساب

نتائج

تكامل f(x) من a إلى b (تقريبي)

٣٫١٤١٥٩٢٦٥٣٦

تربيع غاوس–ليجاندر بـ n نقطة

الحد الأدنى a	0
الحد الأعلى b	1
النقاط n	20
دقيقة لكثيرات الحدود حتى الدرجة	2n − 1

ما هو تربيع غاوس–ليجاندر؟

تربيع غاوس–ليجاندر هو طريقة عددية لتقدير قيمة التكامل المحدد. فبدلاً من تقسيم الفترة إلى شرائح متساوية كثيرة، تقوم الطريقة بحساب قيمة الدالة عند عدد قليل من النقاط المختارة بذكاء (تُسمى العُقد)، ثم تجمعها بعد ضربها في أوزان مضبوطة بعناية. والنتيجة دقة مذهلة: فقاعدة غاوس–ليجاندر ذات الـ $n$ نقطة تُكامِل أي كثير حدود حتى الدرجة $2n - 1$ بدقة تامة، وتعطي نتائج ممتازة للدوال الملساء بعدد تقييمات أقل بكثير مقارنةً بقاعدة شبه المنحرف أو قاعدة سيمبسون.

منحنى مع مساحة مظللة تحته وبعض نقاط العينات المحددة على المحور السيني — تقريب جاوس-ليجاندر يحسب المساحة تحت f(x) باستخدام نقاط عينات وأوزان مختارة بذكاء.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل الدالة المراد تكاملها كعبارة بدلالة x (مثل 4/(1+x^2) أو sin(x)*exp(-x) أو sqrt(1-x^2)). حدِّد الحد الأدنى a والحد الأعلى b، ثم اختر عدد النقاط n من 2 إلى 64. كلما زادت قيمة n ارتفعت الدقة للدوال الملساء. العمليات المدعومة هي + - * / ^؛ والدوال المدعومة تشمل sin وcos وtan وasin وacos وatan وsinh وcosh وtanh وexp وlog/ln وlog10 وsqrt وabs، إضافةً إلى الثابتين pi وe.

شرح الصيغة

تُعرَّف القاعدة الكلاسيكية على الفترة $[-1, 1]$: حيث يُقرَّب التكامل بمجموع موزون لقيم $f$ عند جذور كثير حدود ليجاندر $x_i$. وللتعامل مع فترة عامة $[a, b]$ نستخدم تغييراً خطياً للمتغير يربط $t$ في $[-1, 1]$ بالعلاقة $x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}$، مع $dx = \frac{b-a}{2}\,dt$. والصيغة الكاملة هي:

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$

وتحسب هذه الحاسبة العُقد آنياً باستخدام طريقة نيوتن على علاقة التكرار لكثير حدود ليجاندر، فلا حاجة إلى جدول قيم جاهز.

مخطط يوضح التحويل من الفترة من سالب واحد إلى واحد إلى الفترة من a إلى b — تُسقَط العقد القياسية على [1، 1-] خطيًا على فترة التكامل [a، b].

مثال محلول

لنأخذ الدالة $f(x) = \frac{4}{1 + x^2}$ على الفترة $[0, 1]$، وقيمتها التكاملية الدقيقة تساوي $\pi$. عند $n = 2$ تكون العُقد $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ بوزنين قيمتهما $1$ و$1$. وبتحويلهما إلى الفترة $[0, 1]$ وحساب القيم نحصل على $f(0.2113) = 3.8290$ و $f(0.7887) = 2.4661$؛ ومجموعهما مضروباً في معامل المقياس $0.5$ يعطي نحو $3.1476$ — وهو قريب من $\pi$ بعد تقييمين فقط. أما عند $n = 20$ فإن النتيجة تطابق $\pi$ حتى نحو $3.14159265359$.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا كان $a = b$؟ تكون الفترة معدومة العرض، وبالتالي يساوي التكامل صفراً تماماً.

هل يمكن أن يكون $b$ أصغر من $a$؟ نعم. تُرجِع القاعدة النتيجة بإشارتها، تماشياً مع الاصطلاح القائل بأن عكس حدّي التكامل يقلب إشارته.

لماذا قد تبدو النتيجة خاطئة؟ يفترض تربيع غاوس–ليجاندر أن الدالة منتهية عند كل عقدة. فالشذوذ داخل الفترة (كالقسمة على صفر أو لوغاريتم عدد سالب) قد يُنتج قيمة بلا معنى؛ وتنبهك الحاسبة عندما تعطي إحدى العُقد قيمة NaN أو ما لا نهاية. لاحظ أن النقطتين الطرفيتين $a$ و $b$ لا يُحسَب عندهما شيء أبداً، وهو ما يساعد في الحالات الطرفية الخفيفة.

الآلات الحاسبة ذات الصلة

حاسبة التكامل العددي بطريقة التربيع الغاوسي

احسب تقريب أي تكامل محدد باستخدام قواعد التربيع الغاوسي المختارة: غاوس-لوجاندر، تشيبيشيف، لاغير، هيرميت، جاكوبي، لوباتو وغيرها. أداة مجانية بدقة عالية.