ما هو تربيع غاوس-لاغير؟
تربيع غاوس-لاغير هو طريقة عددية لتقريب التكاملات غير المنتهية على المجال شبه اللانهائي (0، ∞) التي تتلاشى دالتها التكاملية بمعدل أسّي. تستبدل هذه الطريقة التكامل بمجموع موزون يُحسب عند نقاط عيّنة مختارة بعناية تُسمى العُقَد. وعند اختيار رتبة \(n\) فإن القاعدة تكون دقيقة تمامًا لأي كثير حدود من الدرجة \(2n-1\) وما دونها (بالنسبة إلى دالة الوزن \(x^{\alpha} e^{-x}\))، مما يجعلها دقيقة بشكل لافت مع الدوال الملساء باستخدام عدد قليل من التقييمات فقط.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
اختر أولًا نمط الإدخال. اختر f(x) إذا كان تكاملك مكتوبًا بالفعل على الصورة: تكامل \(x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx\)، وتريد إدخال العامل \(f\) فقط. واختر g(x) إذا كانت لديك دالة تكاملية كاملة \(g(x)\) على المجال (0، ∞)؛ عندئذٍ تقوم الأداة تلقائيًا بقسمة دالة الوزن المُدمجة. أدخل الدالة بدلالة المتغير \(x\) باستخدام الرموز المعتادة (+ ، - ، * ، / ، ^ ، sqrt ، exp ، ln ، sin ، cos ، tan وغيرها)، ثم حدّد عدد العُقَد \(n\)، ومعامل الوزن ألفا (استخدم 0 لطريقة غاوس-لاغير العادية). وكلما زدتَ قيمة \(n\) تحسّنت الدقة مع الدوال الملساء.
شرح الصيغة الرياضية
العُقَد \(x_i\) هي جذور كثير حدود لاغير المعمم \(L_n^{(\alpha)}(x)\)، أما الأوزان \(w_i\) فتُستخرج بخوارزمية غولوب-ولش: القيم الذاتية لمصفوفة ياكوبي ثلاثية الأقطار المتماثلة تعطي العُقَد، بينما \(w_i = \Gamma(\alpha+1)\) مضروبًا في مربع المركّبة الأولى لكل متجه ذاتي مُطبّع. ثم يُقرَّب التكامل بالمجموع الموزون المبيّن أعلاه:
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
مثال محلول
لنأخذ \(\alpha = 0\)، و \(n = 2\)، والنمط f(x)، مع \(f(x) = x^2\) (أي نقدّر تكامل \(x^2 e^{-x}\, dx\)، الذي قيمته الدقيقة \(\Gamma(3) = 2\)). العقدتان هما \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0.585786\) بوزن \(w_1 = 0.853553\)، و \(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3.414214\) بوزن \(w_2 = 0.146447\). ويكون المجموع: $$0.853553 \times 0.343146 + 0.146447 \times 11.656854 = 0.292893 + 1.707107 = 2.000000$$ وهو يطابق الإجابة الدقيقة تمامًا لأن \(x^2\) كثير حدود من الدرجة \(2 \le 2n-1 = 3\).
الأسئلة الشائعة
ما الذي يفعله المعامل ألفا؟ هو يحدّد الأُس في دالة الوزن \(x^{\alpha} e^{-x}\). استخدم \(\alpha = 0\) لطريقة غاوس-لاغير القياسية. ويجب أن تحقّق القيم الشرط \(\alpha > -1\) حتى تبقى دالة الوزن قابلة للتكامل.
لماذا تكون نتيجتي غير دقيقة؟ إما أن الدالة التكاملية غير ملساء، أو أنها لا تتلاشى بسرعة كافية على المجال (0، ∞). تُرجِع القاعدة دائمًا عددًا منتهيًا، لكنه لا يكون ذا معنى إلا عندما يتقارب التكامل الحقيقي وتكون الدالة التكاملية قابلة للتقريب جيدًا بكثيرات الحدود مضروبة في دالة الوزن. زِد قيمة \(n\) لاختبار التقارب.
ما الفرق بين النمطين f و g؟ في النمط f تُدخل العامل المضروب في دالة الوزن المُدمجة فقط؛ أما في النمط g فتُدخل الدالة التكاملية كاملة وتُزال دالة الوزن داخل المجموع. وكلاهما يعطي النتيجة نفسها عند الإعداد بشكل متّسق.
