Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir g(x) fonksiyonunun (a, b) sonlu aralığındaki belirli integralini ikinci tür Gauss-Chebyshev kuadratürü kullanarak sayısal olarak yaklaşık hesaplar. Gauss kuadratürü, integrandı özenle seçilmiş az sayıda noktada (düğümde) değerlendirir ve bunları uygun ağırlıklarla birleştirir; böylece düzgün fonksiyonlar için çok az hesaplamayla yüksek doğruluk sağlar. Tamamen matematiksel bir yöntemdir; birim de yoktur, ülkeye özgü herhangi bir kural da.
Nasıl kullanılır?
İntegrandınızı x cinsinden bir ifade olarak girin (örneğin sqrt(1-x^2), exp(x), 1/(1+x^2) veya sin(x)). Desteklenen fonksiyonlar arasında sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln/log, sqrt, abs, ^ ile üs alma ve pi ile e sabitleri bulunur. Ardından alt sınır a'yı, üst sınır b'yi ve düğüm sayısı n'i belirleyin. n büyüdükçe düzgün integrandlar için doğruluk genellikle artar; ağırlıksız fonksiyonlarda 30-60 arası değerler gayet iyi sonuç verir.
Formülün açıklaması
İkinci tür kural, [-1, 1] aralığında \(\sqrt{1-x^2}\) ağırlığıyla yazılan temel özdeşlik üzerine kuruludur. Kapalı biçimli düğümleri \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\), ağırlıkları ise \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) şeklindedir. Ağırlıksız bir g'yi genel bir aralıkta integre etmek için [-1,1] aralığını [a,b]'ye eşleriz (Jacobian \(\frac{b-a}{2}\)) ve \(\sqrt{1-x_i^2}\) ile böleriz. Bu bölme analitik olarak sadeleşir ve geriye etkin ağırlık \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) kalır. Uygulamadaki nihai formül şudur:
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n} \sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) f(x_i)$$İntegral \(\approx \frac{b-a}{2}\cdot W_i\cdot g(\text{düğüm}_i)\) toplamı.
Örnek çözüm
\(g(x) = \sqrt{1-x^2}\) fonksiyonunu (-1, 1) aralığında ve \(n = 4\) ile ele alalım. Kesin değer, birim yarım dairenin alanıdır: \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5707963\). Dört katkının toplamı yaklaşık \(1{,}5708358\) çıkar; yalnızca dört düğümle gerçek değerle dört ondalık basamağa kadar örtüşür.
Sıkça sorulan sorular
a = b olursa ne olur? Aralığın genişliği sıfır olduğundan sonuç tam olarak 0 çıkar.
b, a'dan küçükse ne olur? Kural yine çalışır ve işaretli değeri döndürür; bu da a'dan b'ye integralin, b'den a'ya integralin negatifi olmasıyla uyumludur.
Neden "düğümde tanımsız" uyarısı alabilirim? g, herhangi bir kuadratür düğümünde NaN veya sonsuz değer üretirse (örneğin negatif bir sayının ln'sini almak ya da sıfıra bölmek), sonuç hesaplanamaz; fonksiyonu veya aralığı buna göre düzenleyin.
