İkinci Tür Stirling Sayıları S(n,k) Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

n (küme boyutu)

k (alt küme sayısı)

Sonuç

Stirling Number of the Second Kind S(5, 2)

15

ways to partition 5 labeled elements into 2 non-empty subsets

n (küme boyutu)	5
k (alt kümeler)	2
Gösterim	S(n, k)

İkinci Tür Stirling Sayısı Nedir?

S(n,k) ile gösterilen ikinci tür Stirling sayısı, n adet birbirinden farklı (etiketli) elemandan oluşan bir kümeyi tam olarak k tane boş olmayan, etiketsiz alt kümeye ayırmanın kaç farklı yolu olduğunu sayar. Kombinatoriğin temel büyüklüklerinden biridir; küme parçalanışları, örten fonksiyonlar (sürjeksiyonlar) ve Bell sayılarıyla ilgili problemlerde karşımıza çıkar. Tamamen matematiksel bir araçtır ve her yerde aynı şekilde işler.

S(n,k), etiketli n öğeyi boş olmayan k etiketsiz gruba ayırmanın kaç yolu olduğunu sayar.

Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

Küme boyutu n ile alt küme sayısı k değerlerini girin. Her ikisi de negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Hesapla düğmesine bastığınızda, parçalanışların tam sayısı olan \(S(n,k)\) değerini elde edersiniz. Eğer k, n'den büyükse sonuç 0 çıkar; çünkü eleman sayınızdan daha fazla boş olmayan alt küme oluşturamazsınız.

Formülün Açıklaması

Açık biçim şöyledir:

$$S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n}$$

Burada \(C(k,j)\) binom katsayısıdır. Eşdeğer ve sayısal açıdan daha güvenli bir yol ise şu yineleme bağıntısıdır:

$$S(n,k) = k\,S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$$

Başlangıç değerleri ise \(S(0,0)=1\), n>0 için \(S(n,0)=0\) ve k>0 için \(S(0,k)=0\) şeklindedir. Bu hesaplayıcı, kayan nokta hatalarından (sadeleşme kaynaklı kayıplardan) kaçınmak için yineleme bağıntısını kullanır. İşe yarayan özel durumlar: \(S(n,1)=1\), \(S(n,n)=1\) ve \(S(n,2)=2^{n-1}-1\).

Reklam

Çözümlü Örnek

n=5 ve k=2 için: özel durumu kullanırsak

$$S(5,2)=2^{5-1}-1=16-1=15$$

Yineleme bağıntısı da bunu doğrular:

$$S(5,2)=2\cdot S(4,2)+S(4,1)=2\cdot 7+1=15$$

Yani 5 elemanlı bir kümeyi boş olmayan iki gruba ayırmanın 15 farklı yolu vardır.

S(n,k) değerlerinden oluşan bir üçgen; her değer üstündeki iki değerden oluşur.

Sıkça Sorulan Sorular

S(0,0) neden 1'e eşittir? Geleneksel olarak boş kümenin, sıfır parçaya tek bir parçalanışı vardır: boş parçalanış.

k > n olduğunda ne olur? Sonuç 0'dır; çünkü her alt küme boş olmayan olmak zorundadır ve elinizde yeterince eleman yoktur.

Bunun Bell sayılarıyla ilişkisi nedir? \(S(n,k)\) değerlerini k=0'dan n'ye kadar tüm k için topladığınızda, n elemanlı bir kümenin toplam parçalanış sayısı olan Bell sayısı \(B(n)\)'yi elde edersiniz.