Birinci Tür Stirling Sayıları (Tablo)

Hesaplamaya Girin

n (satır indisi) Negatif olmayan tam sayı (0 ile 25 arası). Araç, k = 0..n için İŞARETLİ birinci tür Stirling sayılarını s(n,k) döndürür.

Sonuç

Signed Stirling numbers of the first kind, row n = 5

s(5, k) for k = 0 ... 5

İşaretli gösterim: s(n,k) = (-1)^(n-k) c(n,k)

k	s(n, k)
0	0
1	24
2	-50
3	35
4	-10
5	1
İşaretli toplam	0
Mutlak değerler toplamı (= n!)	120

Bu hesaplama aracı ne işe yarar?

Bu araç, girdiğiniz negatif olmayan bir n tam sayısı için işaretli birinci tür Stirling sayılarının (\(s(n,k)\) olarak yazılır) tüm satırını hesaplar. \(k = 0, 1, 2, \ldots, n\) değerlerinin her birini bir tablo halinde verir; ayrıca satırın işaretli toplamını ve mutlak değerlerinin toplamını da gösterir. Burada işaretli gösterim kullanılır: \(s(n,k)\) pozitif ya da negatif olabilir. İşaretsiz (yani "döngü sayısı") değerleri olan \(c(n,k) = |s(n,k)|\), n elemanın tam olarak k ayrık döngüye sahip permütasyonlarını sayar ve \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\) bağıntısıyla işaretli değerlere bağlanır.

Formül

İşaretli birinci tür Stirling sayıları, alçalan faktöriyelin \((x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k\) toplamı şeklindeki açılımındaki katsayılardır. Bu sayılar $$s(\text{n},\,k) = s(\text{n}-1,\,k-1) - (\text{n}-1)\,s(\text{n}-1,\,k)$$ yineleme bağıntısını sağlar; başlangıç koşulları ise \(s(0,0) = 1\), \(n \geq 1\) için \(s(n,0) = 0\) ve \(k < 0\) ya da \(k > n\) olduğunda \(s(n,k) = 0\) şeklindedir. Ayrıca her zaman \(s(n,n) = 1\) olduğunu unutmayın.

Yineleme bağıntısı her girdiyi üst satırdaki iki hücreden oluşturur: \(s(n-1,k-1)\) ve \(s(n-1,k)\).

Nasıl kullanılır?

0 ile 25 arasında bir n tam sayısı girip onaylayın. Hesaplayıcı, satırları dinamik programlama ile \(n = 0\) için \([1]\) değerinden başlayarak oluşturur ve son satırı okur. Sonuçları hızlıca doğrulamak için işaretli toplamı (\(n \geq 2\) için 0'dır) ve mutlak değerler toplamını (\(n!\) değerine eşittir) kullanabilirsiniz.

Reklam

Çözümlü örnek (n = 5)

Satırları adım adım oluşturalım: \(n=1\) için \([0, 1]\); \(n=2\) için \([0, -1, 1]\); \(n=3\) için \([0, 2, -3, 1]\); \(n=4\) için \([0, -6, 11, -6, 1]\); ve \(n=5\) için \([0, 24, -50, 35, -10, 1]\). Doğrulama: $$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!$$ ve işaretli toplam $$0+24-50+35-10+1 = 0.$$

\(n = 5\) satırı: \(k = 0..5\) boyunca işaretleri değişen 0, 24, -50, 35, -10, 1 değerleri.

Sık sorulan sorular

İşaretli mi, işaretsiz mi? Bu araç işaretli değerleri döndürür. İşaretsiz döngü sayıları olan \(c(n,k)\) değerlerini elde etmek için mutlak değerleri alın.

İşaretli toplam neden 0'a eşit? Alçalan faktöriyelde \(x = 1\) yerine konulduğunda \(n \geq 2\) için \((1)_n = 0\) elde edilir; bu da \(s(n,k)\) satırının toplamına eşittir.

Neden bir üst sınır olarak en fazla n = 25 var? Değerler faktöriyel hızında büyür, dolayısıyla büyüklükler çok hızlı şekilde devasa boyutlara ulaşır; tablonun okunabilir, aritmetiğin de güvenilir kalması için n en fazla 25 ile sınırlandırılmıştır.