Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, seçtiğiniz bir mertebe (derece) v için birinci tür Kelvin fonksiyonları berv(x) ve beiv(x) değerlerini, taranan bir x aralığı boyunca tablo halinde hesaplar. Bu fonksiyonlar, Jv Bessel fonksiyonunun döndürülmüş \(x\cdot e^{i3\pi/4}\) argümanıyla değerlendirilen reel ve sanal kısımlarıdır. Alternatif akım direnci (deri etkisi), silindirlerde ısı iletimi ve fizik ile mühendisliğin pek çok başka probleminde karşımıza çıkarlar.
Nasıl kullanılır?
Dört değer girin: mertebe v (genellikle 0, 1, 2…), ilk x değeri olan x başlangıç değeri, her satırda eklenen Artış miktarı ve Yineleme sayısı (tablo satır sayısı). Varsayılan ayarlar x değerini −7'den +7'ye 0,2'lik adımlarla tarar (71 satır). Sonuç; x, berv(x) ve beiv(x) sütunlarından oluşan bir tablodur.
Formülün açıklaması
Seri şu şekildedir: $$\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v} e^{\,3v\pi i/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma(v+k+1)}.$$ Bunu karmaşık terim yinelemesiyle (recurrence) hesaplarız: her terim, bir önceki terimin \(\frac{i\,x^{2}/4}{k(v+k)}\) ile çarpılmasıyla elde edilir; böylece kuvvetleri ve faktöriyelleri tekrar tekrar hesaplamaktan kurtuluruz. Gama fonksiyonu, reel v için Lanczos yaklaşımıyla hesaplanır. Toplam, bir terim koşan toplama kıyasla ihmal edilebilir hale geldiğinde durdurulur.
Çözümlü örnek (v = 0, x = 2)
Seriler şu sonuçları verir: \(\mathrm{ber}_0(2) \approx 1 - 0{,}25 + 0{,}001736 - \dots \approx 0{,}75173\) ve \(\mathrm{bei}_0(2) \approx 1 - 0{,}027778 + 0{,}0000694 \approx 0{,}97229\). Bu değerler standart tablolarla uyumludur (\(\mathrm{ber}_0(2)=0{,}7517\), \(\mathrm{bei}_0(2)=0{,}9723\)).
Sık sorulan sorular
v tam sayı olmak zorunda mı? Hayır. Gama fonksiyonu reel v değerlerini de işler. Tam sayı olmayan v ile negatif x için \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v}\) ön çarpanı çok değerlidir; burada ana dal (principal branch) kullanılır.
v=0 için değerler neden simetrik? v=0 serisi yalnızca x'in çift kuvvetlerini içerdiğinden \(\mathrm{ber}_0(-x)=\mathrm{ber}_0(x)\) ve \(\mathrm{bei}_0(-x)=\mathrm{bei}_0(x)\) olur.
Çok büyük x değerlerinde durum ne olur? Seri, orta büyüklükteki \(|x|\) değerleri için iyi yakınsar. \(|x| > 20\) olduğunda çok sayıda terim gerekir ve asimptotik bir açılım daha kararlı sonuç verir; en iyi doğruluk için varsayılan aralıkta kalın.
