Qué hace esta calculadora
Esta herramienta tabula las funciones de Kelvin de primera especie, \(\mathrm{ber}_v(x)\) y \(\mathrm{bei}_v(x)\), para un orden (grado) \(v\) determinado a lo largo de un barrido de valores de x. Estas funciones son las partes real e imaginaria de la función de Bessel \(J_v\) evaluada sobre el argumento rotado \(x\cdot e^{i3\pi/4}\), y aparecen en problemas relacionados con la resistencia en corriente alterna (efecto pelicular o skin effect), la conducción de calor en cilindros y otras aplicaciones de la física y la ingeniería.
Cómo usarla
Introduce cuatro valores: el orden v (habitualmente 0, 1, 2…), el primer valor de x (valor inicial de x), el incremento que se suma en cada fila y el número de iteraciones (las filas de la tabla). Por defecto, el barrido recorre x desde −7 hasta +7 en pasos de 0,2 (71 filas). El resultado es una tabla con los valores de x, \(\mathrm{ber}_v(x)\) y \(\mathrm{bei}_v(x)\).
La fórmula explicada
La serie es $$\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v} e^{\,3v\pi i/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma(v+k+1)}$$ La evaluamos mediante una recurrencia de términos complejos: cada término es igual al anterior multiplicado por \(\frac{i\,x^{2}/4}{k(v+k)}\), lo que evita recalcular potencias y factoriales. La función Gamma se obtiene mediante la aproximación de Lanczos para \(v\) real. La suma se detiene cuando un término resulta insignificante frente al total acumulado.
Ejemplo resuelto (v = 0, x = 2)
Las series dan \(\mathrm{ber}_0(2) \approx 1 - 0{,}25 + 0{,}001736 - \cdots \approx 0{,}75173\) y \(\mathrm{bei}_0(2) \approx 1 - 0{,}027778 + 0{,}0000694 \approx 0{,}97229\), en concordancia con las tablas de referencia (\(\mathrm{ber}_0(2)=0{,}7517\), \(\mathrm{bei}_0(2)=0{,}9723\)).
Preguntas frecuentes
¿Puede v ser no entero? Sí. La función Gamma admite cualquier \(v\) real. Para x negativo con \(v\) no entero, el factor \((x/2)^{v}\) es multivaluado; se utiliza la rama principal.
¿Por qué son simétricos los valores cuando v=0? La serie con \(v=0\) solo contiene potencias pares de x, de modo que \(\mathrm{ber}_0(-x)=\mathrm{ber}_0(x)\) y \(\mathrm{bei}_0(-x)=\mathrm{bei}_0(x)\).
¿Y para valores de x muy grandes? La serie converge bien para \(|x|\) moderados. Cuando \(|x| > 20\) se necesitan muchos términos y un desarrollo asintótico sería más estable; para obtener la mejor precisión, conviene mantenerse dentro del rango por defecto.
