Công cụ này làm gì
Công cụ lập bảng giá trị các hàm Kelvin loại một, berv(x) và beiv(x), với một bậc (degree) v do bạn chọn trên một dải giá trị x quét liên tục. Hai hàm này chính là phần thực và phần ảo của hàm Bessel Jv tính trên đối số đã xoay \(x\cdot e^{i3\pi/4}\), và chúng xuất hiện trong các bài toán về điện trở dòng điện xoay chiều (hiệu ứng bề mặt – skin effect), dẫn nhiệt trong hình trụ cùng nhiều ứng dụng khác trong vật lý và kỹ thuật.
Cách sử dụng
Nhập bốn giá trị: bậc v (thường là 0, 1, 2…), giá trị x đầu tiên Giá trị x ban đầu, Bước nhảy – bước nhảy cộng thêm vào mỗi hàng, và Số lần lặp – số hàng của bảng. Mặc định, công cụ quét x từ −7 đến +7 với bước 0,2 (71 hàng). Kết quả là một bảng gồm x, berv(x), beiv(x).
Giải thích công thức
Chuỗi có dạng
$$\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v} e^{\,3v\pi i/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma(v+k+1)}$$Chúng tôi tính chuỗi này bằng phép truy hồi với số phức: mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với \(\frac{i\,x^{2}/4}{k(v+k)}\), nhờ đó tránh phải tính lại lũy thừa và giai thừa ở từng bước. Hàm Gamma được tính bằng xấp xỉ Lanczos cho v thực. Quá trình tính tổng dừng lại khi một số hạng đã không đáng kể so với tổng đang cộng dồn.
Ví dụ minh họa (v = 0, x = 2)
Khai triển chuỗi cho ta \(\mathrm{ber}_0(2) \approx 1 - 0{,}25 + 0{,}001736 - \dots \approx 0{,}75173\) và \(\mathrm{bei}_0(2) \approx 1 - 0{,}027778 + 0{,}0000694 \approx 0{,}97229\), khớp với các bảng tra chuẩn (\(\mathrm{ber}_0(2)=0{,}7517\), \(\mathrm{bei}_0(2)=0{,}9723\)).
Câu hỏi thường gặp
v có thể là số không nguyên không? Có. Hàm Gamma xử lý được mọi giá trị v thực. Với x âm và v không nguyên thì hệ số \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v}\) là đa trị; ở đây ta dùng nhánh chính (principal branch).
Vì sao các giá trị đối xứng khi v=0? Chuỗi với v=0 chỉ chứa các lũy thừa chẵn của x, do đó \(\mathrm{ber}_0(-x)=\mathrm{ber}_0(x)\) và \(\mathrm{bei}_0(-x)=\mathrm{bei}_0(x)\).
Còn với x rất lớn thì sao? Chuỗi hội tụ tốt với \(|x|\) ở mức vừa phải. Khi \(|x| > 20\), cần rất nhiều số hạng và một khai triển tiệm cận sẽ ổn định hơn; vì vậy hãy giữ trong dải mặc định để có độ chính xác tốt nhất.
