이 계산기의 기능
이 도구는 선택한 차수(degree) v에 대해 제1종 켈빈 함수인 berv(x)와 beiv(x)를 일정한 x 범위에 걸쳐 표로 만들어 줍니다. 이 두 함수는 베셀 함수 Jv를 회전된 인수 x·ei3π/4에 대입했을 때의 실수부와 허수부에 해당합니다. 교류 저항(표피 효과), 원통에서의 열전도를 비롯한 다양한 물리·공학 문제에서 자주 등장합니다.
사용 방법
네 가지 값을 입력하세요. 차수 v(보통 0, 1, 2…), 시작 x 값 x 시작값, 각 행마다 더해지는 증분(증분), 그리고 반복 횟수(표의 행 수)입니다. 기본값은 x를 −7부터 +7까지 0.2 간격으로 훑어 71개 행을 만듭니다. 결과로는 x, berv(x), beiv(x)가 정리된 표가 나옵니다.
공식 설명
급수 표현은 berv(x) + i·beiv(x) = (x/2)v·ei3vπ/4·Σ (i x²/4)k / (k!·Γ(v+k+1)) 입니다. 계산은 복소수 항의 점화식으로 진행합니다. 각 항은 직전 항에 (i x²/4)/(k(v+k))를 곱한 값과 같으므로, 거듭제곱과 계승을 매번 다시 계산할 필요가 없습니다. 감마 함수는 실수 v에 대해 란초스(Lanczos) 근사로 구하며, 한 항이 누적 합에 비해 무시할 만큼 작아지면 합산을 멈춥니다.
계산 예시 (v = 0, x = 2)
급수를 직접 계산하면 ber0(2) ≈ 1 − 0.25 + 0.001736 − … ≈ 0.75173, bei0(2) ≈ 1 − 0.027778 + 0.0000694 ≈ 0.97229가 됩니다. 이는 표준 수표 값(ber0(2)=0.7517, bei0(2)=0.9723)과 잘 일치합니다.
자주 묻는 질문
v가 정수가 아니어도 되나요? 가능합니다. 감마 함수가 실수 v를 처리합니다. 다만 음수 x에 정수가 아닌 v를 쓰면 앞쪽 인자 (x/2)v가 다가(多價) 함수가 되므로, 여기서는 주분지(principal branch)를 사용합니다.
왜 v=0일 때 값이 대칭인가요? v=0 급수에는 x의 짝수 거듭제곱만 들어가기 때문에 ber0(−x)=ber0(x), bei0(−x)=bei0(x)가 성립합니다.
x가 아주 큰 경우는요? 이 급수는 |x|가 적당한 범위일 때 잘 수렴합니다. |x| > 20처럼 커지면 항이 많이 필요하고 점근 전개(asymptotic expansion)가 더 안정적이므로, 정확도를 위해서는 기본 범위 안에서 사용하는 것이 좋습니다.
